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==Enunciado==
==Enunciado==
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Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos &ldquo;0&rdquo; y &ldquo;2&rdquo;) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a <math>\omega</math>, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido &ldquo;1&rdquo;) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine  
Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos &ldquo;0&rdquo; y &ldquo;2&rdquo;) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a <math>\omega</math>, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido &ldquo;1&rdquo;) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine  
# <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>
# <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>
# <math>\vec{v}^{O}_{20}</math> y <math>\vec{a}^{O}_{20}</math>;  
# <math>\vec{v}^{O}_{20}</math> y <math>\vec{a}^{O}_{20}</math>;  
# El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
# El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
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'''Nota''': Se recomienda la utilización del triedro &ldquo;1&rdquo; para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.
'''Nota''': Se recomienda la utilización del triedro &ldquo;1&rdquo; para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

Revisión del 12:08 14 ene 2024

Enunciado

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia ) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a , si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine

  1. y
  2. y ;
  3. El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.

Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

Velocidad y aceleración angular

Velocidad angular

En este caso tenemos la descomposición

La velocidad angular es la suma de las de los dos movimientos relativos

La velocidad angular del movimiento {21} va en la dirección del eje OX

La del movimiento {10} es igual en magnitud, y de sentido opuesto a la del movimiento {01}, que es el dato que se nos da

por lo que la velocidad angular absoluta vale

Aceleración angular

Para las aceleraciones angulares tenemos la ley de composición

La aceleración angular del movimiento {21} es nula, por ser una rotación con velocidad angular constante

Lo mismo ocurre con la del movimiento {10}, ya que en este movimiento, el ventilador 0 “ve” al sistema “1” rotar con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo

Las velocidades angulares que aparecen en el último término son vectores ya conocidos, por lo que

Velocidad y aceleración

Velocidad

La velocidad del punto O en el movimiento {20} se puede descomponer como

La velocidad de O en el movimiento {21} es la de una rotación en torno a un eje que pasa por B

La velocidad del mismo punto en el movimiento {10} es otra rotación, en este caso en torno a un eje que pasa por A

Sumando las dos contribuciones

El punto O se encuentra en reposo instantáneo en el movimiento {20}.

Aceleración

La fórmula correspondiente para la composición de aceleraciones la da el teorema de Coriolis

La aceleración de O en el movimiento {21} es la correspondiente a una rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por B

Sustituyendo la velocidad angular y el vector de posición relativo

Del mismo modo, la aceleración de O en el movimiento {10} es la de un movimiento de rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por A

Sustituyendo la nueva velocidad angular y el correspondiente vector de posición relativo

Por último, para el término de Coriolis tenemos

Sumando las tres contribuciones

Eje instantáneo de rotación

El Eje Instantáneo de Rotación es uno que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que

    

por lo que el EIR es uno que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente

Supongamos que no conociéramos por el apartado anterior que . ¿Podríamos haber determinado de forma sencilla la posición del EIR {20}? Sí. Observemos que los ejes de rotación de los movimientos {21} y {10} se cortan en el punto C de posición

Por el teorema de Varignon, la composición de dos rotaciones sobre ejes concurrentes es otra rotación cuyo eje pasa por el punto de corte. Por tanto el movimiento {20} es necesariamente una rotación cuyo EIR pasa por C, ya que la velocidad absoluta de C es nula, por serlo la relativa y la de arrastre:

La dirección del EIR la da la velocidad angular , de forma que

La posición del eje respecto al origen del sólido 1 es