Ejemplo de clasificación de vectores

Enunciado

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) ${\vec {v}}_{1}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ en $A(3,1,1)\,$

b) ${\vec {v}}_{2}=2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ en $B(1,2,0)\,$

c) ${\vec {v}}_{3}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ en $C(-1,3,-1)\,$

d) ${\vec {v}}_{4}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ en $D(-3,4,-1)\,$

e) ${\vec {v}}_{5}=2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ en $E(7,5,3)\,$

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

Vectores libres

La condición para que dos vectores ligados representen al mismo vector libre es que tengan el mismo módulo, dirección y sentido. Equivalentemente, los dos vectores ligados deben ser iguales componente a componente.

Examinando los cinco vectores ligados propuestos, es claro que pueden representar a dos vectores libres:

Primer vector

Los vectores ligados ${\vec {v}}_{1}$, ${\vec {v}}_{3}$ y ${\vec {v}}_{4}$ representan al mismo vector libre

${\vec {V}}_{1}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Segundo vector

Los vectores ligados ${\vec {v}}_{2}$ y ${\vec {v}}_{5}$ representan al vector libre

${\vec {V}}_{2}=2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Vectores deslizantes

Para que dos vectores ligados representen al mismo vector deslizante deben coincidir en módulo, dirección y sentido y además sus puntos de aplicación deben encontrarse sobre la misma recta soporte.

Para imponer esta restricción debemos exigir que el vector que une los dos puntos de aplicación sea paralelo al vector deslizante, lo cual se consigue con el producto vectorial

${\overrightarrow {PQ}}\times {\vec {V}}={\vec {0}}$

En nuestro caso, tenemos por un lado que ${\vec {v}}_{1}$, ${\vec {v}}_{3}$ y ${\vec {v}}_{4}$ pueden representar al mismo vector deslizante, y que ${\vec {v}}_{2}$ y ${\vec {v}}_{5}$ pueden representar a otro. Los comprobamos por separado.

Para los vectores ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$ tenemos

${\overrightarrow {AC}}=(-1-3){\vec {\imath }}+(3-1){\vec {\jmath }}+(-1-1){\vec {k}}=-4{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}$

Hallando el producto vectorial con ${\vec {v}}_{1}$

${\overrightarrow {AC}}\times {\vec {v}}_{1}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-4&2&-2\\2&-1&1\end{matrix}}\right|={\vec {0}}$

y por tanto ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$ sí representan al mismo vector deslizante.

Examinos ahora el par ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{4}$

${\overrightarrow {AD}}=-6{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}\,;$        ${\overrightarrow {AD}}\times {\vec {v}}_{1}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-6&3&-2\\2&-1&1\end{matrix}}\right|={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}\neq {\vec {0}}$

Puesto que no es nulo, el vector ${\vec {v}}_{4}$ no representa al mismo vector deslizante que ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$.

Para el par formado por ${\vec {v}}_{2}$ y ${\vec {v}}_{5}$ tenemos

${\overrightarrow {BE}}=6{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}\,;$        ${\overrightarrow {BE}}\times {\vec {v}}_{2}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\6&3&3\\2&1&1\end{matrix}}\right|={\vec {0}}$

Por tanto, sí representan al mismo vector deslizante. Tenemos entonces tres vectores deslizantes:

Primer vector

Los vectores ligados ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$ representan al mismo vector deslizante

${\vec {V}}_{1}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

siendo la recta soporte una que pasa por $A(3,1,1)$ y lleva la dirección de ${\vec {V}}_{1}$

Segundo vector

El vector ligado ${\vec {v}}_{4}$ representa al vector deslizante

${\vec {V}}_{1}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

con recta soporte una que pasa por $D(-3,4,-1)$ y lleva la dirección de ${\vec {V}}_{1}$

Tercer vector

Los vectores ligados ${\vec {v}}_{2}$ y ${\vec {v}}_{5}$ representan al vector deslizante

${\vec {V}}_{2}=2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

con recta soporte una que pasa por $B(1,2,0)$ y con la dirección de ${\vec {V}}_{2}$.