Ejemplo de clasificación de vectores

Enunciado

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(3,1,1)\,}

b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(1,2,0)\,}

c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C(-1,3,-1)\,}

d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D(-3,4,-1)\,}

e) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(7,5,3)\,}

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

Vectores libres

La condición para que dos vectores ligados representen al mismo vector libre es que tengan el mismo módulo, dirección y sentido. Equivalentemente, los dos vectores ligados deben ser iguales componente a componente.

Examinando los cinco vectores ligados propuestos, es claro que pueden representar a dos vectores libres:

Primer vector

Los vectores ligados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_3} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_4} representan al mismo vector libre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}}

Segundo vector

Los vectores ligados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_5} representan al vector libre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}}

Vectores deslizantes

Para que dos vectores ligados representen al mismo vector deslizante deben coincidir en módulo, dirección y sentido y además sus puntos de aplicación deben encontrarse sobre la misma recta soporte.

Para imponer esta restricción debemos exigir que el vector que une los dos puntos de aplicación sea paralelo al vector deslizante, lo cual se consigue con el producto vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{PQ}\times\vec{V}=\vec{0}}

En nuestro caso, tenemos por un lado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_3} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_4} pueden representar al mismo vector deslizante, y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2} y ${\vec {v}}_{5}$ pueden representar a otro. Los comprobamos por separado.

Para los vectores ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$ tenemos

${\overrightarrow {AC}}=(-1-3){\vec {\imath }}+(3-1){\vec {\jmath }}+(-1-1){\vec {k}}=-4{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}$

Hallando el producto vectorial con ${\vec {v}}_{1}$

${\overrightarrow {AC}}\times {\vec {v}}_{1}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-4&2&-2\\2&-1&1\end{matrix}}\right|={\vec {0}}$

y por tanto ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$ sí representan al mismo vector deslizante.

Examinos ahora el par ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{4}$

${\overrightarrow {AD}}=-6{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}\,;$        ${\overrightarrow {AD}}\times {\vec {v}}_{1}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-6&3&-2\\2&-1&1\end{matrix}}\right|={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}\neq {\vec {0}}$

Puesto que no es nulo, el vector ${\vec {v}}_{4}$ no representa al mismo vector deslizante que ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$.

Para el par formado por ${\vec {v}}_{2}$ y ${\vec {v}}_{5}$ tenemos

${\overrightarrow {BE}}=6{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}\,;$        ${\overrightarrow {BE}}\times {\vec {v}}_{2}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\6&3&3\\2&1&1\end{matrix}}\right|={\vec {0}}$

Por tanto, sí representan al mismo vector deslizante. Tenemos entonces tres vectores deslizantes:

Primer vector

Los vectores ligados ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{3}$ representan al mismo vector deslizante

${\vec {V}}_{1}=2{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

siendo la recta soporte una que pasa por $A(3,1,1)$ y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_1}

Segundo vector

El vector ligado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_4} representa al vector deslizante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}}

con recta soporte una que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D(-3,4,-1)} y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_1}

Tercer vector

Los vectores ligados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_5} representan al vector deslizante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}}

con recta soporte una que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(1,2,0)} y con la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_2} .