Hélice de un avión que gira (G.I.A.)

Enunciado

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro $C$ de su hélice describe una circunferencia de radio $L$. La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es $|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega$. Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es $R$, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$. Se pide

1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
2. Aplicando la composición de velocidades, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y aceleración ${\vec {a}}_{21}^{P}$ del punto más alto de la hélice (punto $P$ en la figura).
3. La reducción cinemática del movimiento {21} en $P$ y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
4. Calcule numéricamente $|{\vec {v}}_{21}^{P}|$ y $|{\vec {a}}_{21}^{P}|$ para los valores $R=1\,\mathrm {m}$, $L=100\,\mathrm {m}$, $\omega =100\,\mathrm {rad/s}$ y $\Omega =1\,\mathrm {rad/s}$.

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

Solución

Reducción cinemática de {01}

El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta $OZ_{1}\equiv OZ_{0}$. El punto $O$ pertenece al eje de giro, por lo que ${\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}$. El enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es $|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega$. Según el giro que se indica en la figura apunta en el sentido positivo del eje $Z_{0}$. Por tanto la reducción en el punto $O$ es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}&&\Delta _{\mathrm {EPR} }\equiv OZ_{0}\equiv OZ_{1}\\&&\\{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}&&\end{array}}$

Reducción cinemática de {20}

Este movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues, el punto $C$ pertenece al eje de giro, por lo que ${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$. En el dibujo también se observa que el eje de giro es paralelo a $OY_{0}$. Como el enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$, la reducción en el punto $C$ es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}&&\Delta _{\mathrm {EIR} }\equiv CY_{0}\\&&\\{\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}&&\end{array}}$

Movimiento {21}

Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

La composición de velocidades angulares es

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$

Usando los calculos realizados tenemos

${\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}$

Para la aceleración angular usamos

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

El enunciado nos dice que tanto $|{\vec {\omega }}_{01}|$ como $|{\vec {\omega }}_{20}|$ son constantes. Por tanto se cumple

${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}}$

Calculando el producto vectorial resulta

${\vec {\alpha }}_{21}=-\omega \,\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}$

Calculamos ahora ${\vec {v}}_{21}^{P}$. Para ello usamos la composición de movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{P}=&{\vec {v}}_{20}^{P}+{\vec {v}}_{01}^{P}\\&{\vec {v}}_{20}^{P}={\vec {v}}_{20}^{C}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}}=(\omega \,{\vec {\jmath }}_{0})\times (R\,{\vec {k}}_{0})=R\omega \,{\vec {\imath }}_{0}\\&{\vec {v}}_{01}^{P}={\vec {v}}_{01}^{O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}}=(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (L\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {k}}_{0})=L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{P}=R\omega \,{\vec {\imath }}_{0}+L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Para calcular ${\vec {a}}_{21}^{P}$ necesitamos determinar la aceleración en un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula.Entonces

${\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {0}}&&{\vec {a}}_{20}^{C}={\vec {0}}\end{array}}$

Ahora podemos calcular ${\vec {a}}_{21}^{P}$ usando la composición y las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos

${\begin{array}{ll}{\vec {a}}_{21}^{P}=&{\vec {a}}_{20}^{P}+{\vec {a}}_{01}^{P}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}\\&{\vec {a}}_{20}^{P}={\vec {a}}_{20}^{C}+{\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}}+{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}})=-R\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}\\&{\vec {a}}_{01}^{P}={\vec {a}}_{01}^{O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}})=-L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}\\&2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}=2(\Omega \,{\vec {k}}_{0})\times (R\omega \,{\vec {\imath }}_{0})=2R\omega \Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

Resulta

${\vec {a}}_{21}^{P}=-L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}+2R\omega \Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}-R\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{0}$

Para encontrar el eje $\Delta _{21}$, vamos a calcular ${\vec {v}}_{21}^{O}$, para hacer más sencilla la descripción de la posición del eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{O}=&{\vec {v}}_{21}^{P}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {PO}}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {PO}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{0}&{\vec {\jmath }}_{0}&{\vec {k}}_{0}\\0&\omega &\Omega \\-L&0&-R\end{array}}\right|=-R\omega \,{\vec {\imath }}_{0}-L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}+L\omega \,{\vec {k}}_{0}\\{\vec {v}}_{21}^{O}=&L\omega {\vec {k}}_{0}\end{array}}$

Podemos encontrar un punto de $\Delta _{21}$ usando la expresión

${\overrightarrow {OC^{*}}}={\dfrac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{O}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\dfrac {L\omega ^{2}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}$

La ecuación vectorial de $\Delta _{21}$ es

$\Delta _{21}\equiv {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OC^{*}}}+\lambda {\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {L\omega ^{2}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}+\lambda (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})$

Como $\omega ^{2}/(\omega ^{2}+\Omega ^{2})<1$, el punto $C^{*}$ está sobre el eje $OX_{0}$ en un punto intermedio entre el punto $O$ y el punto $C$. La figura muestra la posición aproximada del eje.

Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima

$v^{\text{mín}}={\dfrac {{\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {\omega }}_{21}}{|{\vec {\omega }}_{21}|}}={\dfrac {L\omega \Omega }{\sqrt {\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}}\neq 0$

Como ${\vec {\omega }}_{21}\neq 0$ y $v^{\text{mín}}\neq 0$ el movimiento instantáneo es helicoidal tangente.

Aplicación numérica

Con los valores numéricos dados y usando las expresiones de la velocidad y aceleración pedidas obtenemos

${\begin{array}{l}|{\vec {v}}_{21}^{P}|={\sqrt {R^{2}\omega ^{2}+L^{2}\Omega ^{2}}}=141\,\mathrm {m/s} =509\,\mathrm {km/h} \\\\|{\vec {a}}_{21}^{P}|={\sqrt {L^{2}\Omega ^{4}+4R^{2}\omega ^{2}\Omega ^{2}+R^{2}\omega ^{4}}}=1.00\times 10^{4}\,\mathrm {m/s^{2}} \end{array}}$

Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.