No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, $\,AB\,$ (sólido "2") y $\,OD\,$ (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud $\,2a,\,$ y contenidas siempre en el plano fijo $\,OXY\,$ (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro $\,C(a,0)\,$ y la segunda en su extremo $\,O(0,0).\,$ Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla $\,OD\,$ posee una acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo $\,A\,$ de la varilla $\,AB.\,$ Se utiliza el ángulo $\,\theta ,\,$ formado por la varilla $\,AB\,$ y el eje $\,OX,\,$ como parámetro descriptivo del movimiento del sistema.

Nota: Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles $\,OAC\,$ de la figura, se puede determinar (en función de $\,\theta \,$) el ángulo formado por la varilla $\,OD\,$ y el eje $\,OX,\,$ o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$
2. Velocidad $\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$
3. Vector de posición $\,{\overrightarrow {OI_{20}}}$ del centro instantáneo de rotación del movimiento $\{20\}$

Velocidad angular del movimiento {20}

Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles $\,OAC\,$ sea $\,\pi \,$ radianes, determinamos el ángulo $\,\beta \,$ (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:

$2\,\beta +\theta =\pi \,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\beta ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}}$

Al ser $\,\beta \,$ el ángulo que forma la varilla $\,AB\,$ (sólido "2") con respecto a la varilla $\,OD\,$ (sólido "0"), la velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$ puede expresarse así:

${\vec {\omega }}_{20}=-\,{\dot {\beta }}\,{\vec {k}}$

donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo $\,\beta \,$ que forma la varilla "2" respecto a la varilla "0" aumenta (${\dot {\beta }}>0\,$), la rotación $\{20\}\,$ es horaria ($\,{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {k}}<0$). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, podemos resumir la justificación del signo negativo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:

$\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\beta }}>0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {k}}<0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\beta }}<0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {k}}>0$

Sustituyendo la expresión de $\,\beta \,$ obtenida al principio, determinamos $\,{\vec {\omega }}_{20}\,$:

                         ${\vec {\omega }}_{20}=-\,{\dot {\beta }}\,{\vec {k}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\dot {\theta }}{2}}\,{\vec {k}}$

Velocidad {20} del punto O

Empezaremos calculando la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática $\{21\}\,$ en el punto $\,C\,$. Elegimos $\,C\,$ como centro de reducción $\{21\}\,$ porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto $\,C\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{21\}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {0}}$

Al ser $\,\theta \,$ el ángulo que forma la varilla $\,AB\,$ (sólido "2") con respecto al eje $\,OX\,$ (sólido "1"), la velocidad angular $\,{\vec {\omega }}_{21}\,$ puede expresarse así:

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

donde el signo positivo (que se omite) delante de $\,{\dot {\theta }}\,$ se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo $\,\theta \,$ que forma la varilla "2" con respecto al eje $\,OX\,$ del sólido "1" aumenta (${\dot {\theta }}>0\,$), la rotación $\{21\}\,$ es antihoraria ($\,{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {k}}>0$). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo positivo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:

$\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\theta }}>0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {k}}>0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {si} \,\,\,{\dot {\theta }}<0\,\,\,\longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {k}}<0$

Conocida la reducción cinemática $\{{\vec {\omega }}_{21}\,;{\vec {v}}_{21}^{\,C}\}$, ya podemos calcular la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ mediante la ecuación del campo de velocidades $\{21\}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}=\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,C}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CO}}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}\times (-\,a\,{\vec {\imath }}\,\,)=-\,a{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}$

Por otra parte, el punto $\,O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$ porque la varilla "0" se halla articulada en él:

${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}$

Conocidas las velocidades ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ y ${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,O}\!-\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle {\vec {0}}}=-\,a{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}$

Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

La posición del centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$ se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:

${\overrightarrow {OI_{20}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}}{|\,{\vec {\omega }}_{20}|^{2}}}=2a\,{\vec {\imath }}$

El vector de posición ${\overrightarrow {OI_{20}}}\,$ obtenido es constante (no depende del parámetro $\theta \,$ descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, $I_{20}\,$ es en realidad un centro permanente de rotación.

También es posible determinar la posición de $I_{20}\,$ GRÁFICAMENTE.

Para ello, localizamos primero los centros permanentes de rotación $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$, que coinciden con los puntos de articulación de las varillas "2" y "0", respectivamente:

$I_{21}\equiv C\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\equiv O$

En cuanto al movimiento $\{20\}\!\!\,$, se nos indica que el extremo $A\,$ de la varilla "2" está obligado a recorrer la acanaladura longitudinal de la varilla "0", lo cual nos permite saber que la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,A}\,$ es necesariamente colineal con la propia varilla "0". Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $A\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $\,I_{01}\,$ e $\,I_{21}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $\,I_{20}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.{\begin{array}{r}{\vec {v}}_{20}^{A}\perp {\overrightarrow {I_{20}A}}\\\\\{I_{01},\,I_{21},\,I_{20}\}\,\,\mathrm {alineados} \end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,I_{20}\,\equiv \,\left\{{\begin{array}{c}\mathrm {recta} \perp {\vec {v}}_{20}^{A}\\\mathrm {que} \,\,\mathrm {pasa} \,\,\mathrm {por} \,A\end{array}}\right\}\,\,\bigcap \,\,\,{\overline {I_{01}I_{21}}}$

Por último, subrayemos la obligada coincidencia de resultados entre el procedimiento analítico y el procedimiento gráfico utilizados para determinar la posición de $\,I_{20}\,$. Nótese que el punto $\,A\,$ recorre en su movimiento absoluto una circunferencia de radio $\,a\,$ y centro en $\,C\,$ (marcada con línea negra discontinua en la figura adjunta). El punto $I_{20}\,$ se sitúa sobre dicha circunferencia y en la posición diametralmente opuesta a la posición del punto $\,O\,$, de tal modo que el diámetro fijo $\,OI_{20}\,$ es "visto" siempre bajo un ángulo de 90º desde el punto $\,A\,$ con independencia de la posición concreta de este último sobre la circunferencia (arco capaz de 90º).