Disco apoyado en placa

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado $L$, que desliza sobre el eje $O_{1}X_{1}$, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio $R$, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}Y_{1}$ en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes $AX_{0}Y_{0}$, definido de tal modo que el eje $AY_{0}$ contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje $AX_{0}$ es tangente a dicho disco (sólido “0”).

1. Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I_{21}$, $I_{20}$, $I_{03}$, $I_{23}$ e $I_{01}$.
2. Utilizando como parámetro el ángulo $\theta$ del dibujo (ángulo que forma el eje $AX_{0}$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: $\{{\vec {\omega }}_{20}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{20}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$, $\{{\vec {\omega }}_{03}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{03}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$, $\{{\vec {\omega }}_{31}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{31}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$ y $\{{\vec {\omega }}_{21}(\theta ,{\dot {\theta }}),{\vec {v}}_{21}^{\;C}(\theta ,{\dot {\theta }})\}$.

Centros instantáneos de rotación

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

Movimiento {21}

Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR $I_{21}$ es el punto de contacto B entre el disco y la pared

$I_{21}=B\,$

Movimiento {20}

El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{C}$, este punto es el CIR de este movimiento

$I_{20}=C\,$

Movimiento {30}

Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello

$I_{30}=A\,$

Movimiento {31}

La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.

Movimiento {01}

Por el teorema de los tres centros $I_{01}$ se encuentra alineado con el $I_{21}$ y el $I_{20}$. Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el $I_{31}$ y el $I_{30}$. Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR $I_{01}$

Movimiento {32}

Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. $I_{32}$ está alineado con $I_{30}$ e $I_{20}$, esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con $I_{31}$ e $I_{21}$, es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje $OY_{1}$. La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, $I_{32}$.

Reducciones cinemáticas

Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

$\omega _{03}={\dot {\theta }}$

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

$\omega _{31}=0\,$

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

$\omega _{01}=\omega _{03}+\omega _{31}={\dot {\theta }}\,$

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {v}}_{20}^{C}+{\vec {v}}_{03}^{C}+{\vec {v}}_{31}^{C}$

Analicemos cada uno de estos sumandos:

Velocidad de C en {21}

Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos

${\vec {v}}_{21}^{C}=\omega _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {BC}}=\omega _{21}{\vec {k}}\times (R{\vec {\imath }}_{1})=\omega _{21}R{\vec {\jmath }}_{1}$

Velocidad de C en {20}

Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$

Velocidad de C en {03}

Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular ${\dot {\theta }}$

${\vec {v}}_{03}^{C}={\dot {\theta }}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AC}}={\dot {\theta }}{\vec {k}}\times (R{\vec {\jmath }}_{0})=-R{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}$

Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda

${\vec {v}}_{03}^{C}=-R{\dot {\theta }}\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)$

Velocidad de C en {31}

Este movimiento es una traslación horizontal

${\vec {v}}_{31}^{C}=v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$

Sumando los distintos términos e igualando nos queda

$\omega _{21}R{\vec {\jmath }}_{1}=-R{\dot {\theta }}\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\right)+v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$

Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas

$\left\{{\begin{array}{lcr}0&=&-R{\dot {\theta }}\cos(\theta )+v_{0}\\\omega _{21}R&=&-R{\dot {\theta }}\mathrm {sen} (\theta )\end{array}}\right.$

Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas

$v_{0}=R{\dot {\theta }}\cos(\theta )\,\,;$        $\omega _{21}=-{\dot {\theta }}\mathrm {sen} (\theta )$

Por último, hallamos la velocidad angular {20}

$\omega _{20}=\omega _{21}+\omega _{10}=\omega _{21}-\omega _{01}=-{\dot {\theta }}(1+\mathrm {sen} (\theta ))$

Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.

Movimiento {20}

En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto

$\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{C}\}=\{-{\dot {\theta }}(1+\mathrm {sen} (\theta )){\vec {k}},{\vec {0}}\}$

Movimiento {03}

En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que

$\{{\vec {\omega }}_{03},{\vec {v}}_{03}^{C}\}=\{{\dot {\theta }}{\vec {k}},-R{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}\}$

Movimiento {31}

En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente

$\{{\vec {\omega }}_{31},{\vec {v}}_{31}^{C}\}=\{{\vec {0}},R{\dot {\theta }}\cos(\theta ){\vec {\imath }}_{1}\}$

Movimiento {21}

Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B

$\{{\vec {\omega }}_{21},{\vec {v}}_{21}^{C}\}=\{-{\dot {\theta }}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {k}},-R{\dot {\theta }}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}_{1}\}$