3.3. Tensión de un péndulo

Enunciado

Empleando el teorema de conservación de la energía mecánica, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa $m$ y longitud $l_{0}$ pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo $\theta _{0}$ con el que se separa de la vertical.

Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical.

Velocidad máxima

Podemos hallar la velocidad máxima a partir de la ley de conservación de la energía mecánica. La partícula está sometida a dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda.

La tensión va siempre en la dirección de la cuerda y por tanto es perpendicular al movimiento de la partícula. Por ello, no realiza trabajo sobre ella, y solo debemos considerar el trabajo debido al peso. Puesto que el peso deriva de una energía potencial

$U(z)=mgz\,$

podemos escribir la ley de conservación de la energía mecánica

$K+U={\frac {1}{2}}mv^{2}+mgz=E=\mathrm {cte}$

En el caso de las oscilaciones de un péndulo, si medimos las alturas desde el punto más bajo de las oscilaciones, cuando se halla en el punto de máxima separación de la vertical se encuentra a una altura

$h=l_{0}-l_{0}\cos(\theta _{0})\,$

siendo su velocidad nula (si no, el ángulo no sería máximo). En el punto más bajo, su altura es nula y tiene una velocidad $v$. Igualando la energía mecánica en un punto con la del otro nos queda

$0+mgl_{0}(1-\cos(\theta _{0}))={\frac {1}{2}}mv^{2}+0$

y esto nos da la velocidad

$v={\sqrt {2gl_{0}(1-\cos(\theta _{0})}}=2{\sqrt {gl_{0}}}\,\mathrm {sen} \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)$

Tensión

Punto inferior

En el punto más bajo las dos fuerzas son normales a la trayectoria y por tanto la aceleración tangencial es nula (por ello la rapidez tiene un máximo). La partícula, no obstante, está acelerada, pues posee aceleración normal. La segunda ley de Newton nos da

$m{\vec {a}}={\vec {\Phi }}+m{\vec {g}}$

siendo ${\vec {\Phi }}$ la fuerza de reacción vincular, en este caso, la tensión de la cuerda. Despejando de aquí

${\vec {\Phi }}=m{\vec {a}}-m{\vec {g}}$

El término debido al peso vale

$-m{\vec {g}}=mg{\vec {k}}$

mientras que el debido a la aceleración normal es

$m{\vec {a}}=m{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {N}}=m{\frac {4gl_{0}\mathrm {sen} ^{2}(\theta _{0}/2)}{l_{0}}}{\vec {k}}=4mg\,\mathrm {sen} ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right){\vec {k}}$

lo que nos da la tensión

${\vec {\Phi }}=mg\left(1+4\,\mathrm {sen} ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\vec {k}}=mg(3-2\cos(\theta _{0})){\vec {k}}$

Esta tensión es siempre superior al peso. Sólo iguala al peso cuando la lenteja se encuentra en equilibrio en el punto inferior ($\theta _{0}=0$).

El valor máximo de la tensión se da para el caso que la partícula parta del extremo superior ($\theta _{0}=\pi$), en cuyo caso iguala a 5 veces el peso. Este resultado es coincidente con el que se obtiene para una anilla ensartada en un aro, ya que el movimiento de dicha anilla es el mismo que el de un péndulo (la condición de vínculo es la misma: distancia constante al centro de la circunferencia).

Ángulo máximo

En la posición de máxima separación de la vertical la aceleración normal es nula, por serlo la celeridad. No así la aceleración tangencial. Puesto que la fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria tenemos las ecuaciones

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}m{\vec {a}}_{t}=m{\vec {a}}=m{\vec {g}}_{\parallel }&\\m{\vec {a}}_{n}={\vec {0}}=m{\vec {g}}_{\perp }+{\vec {\Phi }}&\end{cases}}$

siendo ${\vec {g}}_{\parallel }$ y ${\vec {g}}_{\perp }$ las componentes de la gravedad en la dirección tangente a la trayectoria y en la perpendicular a ella.

La tensión de la cuerda compensa entoces a la componente perpendicular de la gravedad

${\vec {\Phi }}=-m{\vec {g}}_{\perp }$

y, en módulo,

$\Phi =|m{\vec {g}}_{\perp }|=mg\left|\cos(\theta _{0})\right|$

En forma vectorial multiplicamos por el vector unitario en la dirección de la cuerda y hacia adentro

${\vec {\Phi }}=mg\cos(\theta _{0})\left(-\mathrm {sen} (\theta _{0}){\vec {\imath }}+\cos(\theta _{0}){\vec {k}}\right)$

Valor de la componente normal de la tensión, como función del ángulo máximo

En módulo, esta tensión es siempre menor que el peso, salvo en el caso en que la partícula esté en equilibrio en el punto más bajo, en que se reduce al caso anterior.

La tensión se anula si la masa alcanza una posición horizontal ($\theta _{0}=\pi /2$). Para ángulos máximos superiores, la tensión debe ir dirigida hacia afuera lo que es posible si se trata de una barra rígida (vínculo bilateral), pero no si se trata de una cuerda flexible (vínculo unilateral). Para una barra rígida y un ángulo $\theta _{0}=\pi$ (extremo superior), la tensión vuelve a igualar al peso en módulo. Este caso está de nuevo de acuerdo con el sistema de una anilla ensartada en un aro.