Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Componentes intrínsecas en un movimiento circular (Ex.Jun/13)»
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1) <math>\theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\omega_0\,\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\,;\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\omega_0^2\,\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\mathrm{cotg}(\omega_0 t)</math> | 1) <math>\theta(t)=\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\omega_0\,\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\,;\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\omega_0^2\,\mathrm{sen}(\omega_0 t)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-\mathrm{cos}(\omega_0 t)\,\mathrm{cotg}(\omega_0 t)</math> | ||
2) <math>\theta(t)=e^{(t/t_0)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0}\,\,;\qquad\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0^2}\,\,\,\,\,\qquad | 2) <math>\theta(t)=e^{(t/t_0)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0}\,\,;\qquad\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=\frac{e^{(t/t_0)}}{t_0^2}\,\,\,\,\,\qquad\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=e^{(t/t_0)}</math> | ||
3) <math>\theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2} | 3) <math>\theta(t)=\mathrm{ln}\left(\displaystyle\frac{t}{t_0}\right)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\frac{1}{t}\,\,;\qquad\qquad\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=-\frac{1}{t^2}\,\qquad\qquad\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=-1</math> | ||
4) <math>\theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2} | 4) <math>\theta(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0 t^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\alpha_0 t\,\,;\qquad\qquad\,\ddot{\theta}=\alpha_0\,\,\,\,\,\qquad\qquad\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{tg}(\psi)=\frac{\dot{\theta}^2}{\ddot{\theta}}=\alpha_0 t^2</math> | ||
Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3. | Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3. | ||
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Revisión actual - 21:19 9 ene 2024
Enunciado
El ángulo que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula puede determinarse a partir del cociente entre las componentes intrínsecas de su aceleración:
Sea una partícula que recorre la circunferencia de radio :
¿Para cuál de las siguientes leyes horarias se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo formado por la velocidad y la aceleración de la partícula? (Nota: , y son constantes positivas conocidas.)
1)
2)
3)
4)
Solución
Al estudiar en la teoría la descripción angular del movimiento circular de una partícula, utilizábamos precisamente la ecuación -paramétrica de la circunferencia a la que se refiere el enunciado de este problema. Y definíamos la velocidad angular y la aceleración angular de la partícula como las derivadas temporales de primer y segundo orden, respectivamente, de la ley horaria . También se dedujeron sendas expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula:
Entonces, conforme a la afirmación inicial del enunciado, el ángulo que forman entre sí los vectores velocidad y aceleración de una partícula que realiza el movimiento circular propuesto se determina mediante el siguiente cociente:
Por tanto, averiguaremos para cuál de las cuatro leyes horarias propuestas en el enunciado se mantiene constante a lo largo del tiempo el ángulo formado por la velocidad y la aceleración de la partícula investigando en cuál de ellas desaparece el tiempo al realizar el citado cociente:
1)
2)
3)
4)
Como puede observarse, la respuesta correcta es la opción número 3.