Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)

Enunciado

Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula $\,{\vec {a}}(t)=-Kt\,{\vec {\imath }}\,\,$, donde $K\,$ es una constante de valor igual a 8.00 m/s³. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?

Velocidad y posición

Se trata de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje OX. Por tanto, podemos escribir:

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {\imath }}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=a_{x}\,{\vec {\imath }}={\dot {v}}_{x}\,{\vec {\imath }}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}=-Kt\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\,(\mathrm {para} \,\,t>0)$

Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo $(t=0)\,$, conocemos también las condiciones iniciales:

$x(0)=0\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v_{x}(0)={\dot {x}}(0)=25\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para $t>0\,$ se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

${\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}=-Kt\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} v_{x}=-Kt\,\mathrm {d} t\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\int _{v_{x}(0)}^{v_{x}(t)}\!\mathrm {d} v_{x}=-K\!\int _{0}^{t}\!t\,\mathrm {d} t\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v_{x}(t)=v_{x}(0)-{\frac {1}{2}}Kt^{2}$

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=v_{x}(0)-{\frac {1}{2}}Kt^{2}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\mathrm {d} x=\left[v_{x}(0)-{\frac {1}{2}}Kt^{2}\right]\mathrm {d} t\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\int _{x(0)}^{x(t)}\!\mathrm {d} x=\int _{0}^{t}\!\left[v_{x}(0)-{\frac {1}{2}}Kt^{2}\right]\mathrm {d} t\,\,\,\,\,\longrightarrow$

$\longrightarrow \,\,\,\,\,x(t)=x(0)+v_{x}(0)t-{\frac {1}{6}}Kt^{3}$

Tiempo que tarda en detenerse

La partícula se detendrá en el instante $t=t^{*}\,$ en el que se anule su velocidad, es decir:

$v_{x}(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v_{x}(0)-{\frac {1}{2}}K(t^{*})^{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,t^{*}={\sqrt {\frac {2v_{x}(0)}{K}}}$

y sustituyendo los datos numéricos:

$t^{*}={\sqrt {\frac {2\cdot 25\,\mathrm {m} /\mathrm {s} }{8.00\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}}}}\,\mathrm {s} =2.50\,\mathrm {s}$

Distancia del obstáculo

Para determinar la distancia $(d)\,$ del obstáculo a la que se detiene la partícula, simplemente hay que evaluar la posición (coordenada $x\,$) de la partícula para el instante $t=t^{*}\,$, y después restársela a la posición $x_{obs}\,$ en la que se encuentra el obstáculo:

$d=x_{obs}-x(t^{*})=x_{obs}-\left[x(0)+v_{x}(0)t^{*}-{\frac {1}{6}}K(t^{*})^{3}\right]=x_{obs}-x(0)-v_{x}(0)t^{*}+{\frac {1}{6}}K(t^{*})^{3}$

y sustituyendo los datos numéricos:

$d=50\,\mathrm {m} -0\,\mathrm {m} -25\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \cdot 2.50\,\mathrm {s} +{\frac {1}{6}}\cdot 8.00\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{3}\cdot (2.50\,\mathrm {s} )^{3}=8.33\,\mathrm {m}$