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==Enunciado==
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En el plano vertical <math>\,OXY\,</math> (gravedad: <math>\vec{g}=-g\,\vec{\jmath}\,</math>) se halla una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>\,m\,</math>, ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio <math>\,R\,</math> y centro en <math>O\,</math>. Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación <math>\,x=-R\,</math>) mediante un resorte elástico <math>\,QP\,</math> de constante
recuperadora <math>\,k=2mg/R\,</math> y longitud natural <math>\,l_0=R.\,</math> El extremo <math>\,Q\,</math> se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte <math>\,QP\,</math> permanece en todo instante paralelo al eje <math>OX.\,</math>

Se propone la coordenada acimutal <math>\,\theta\,</math> (definida en la figura) para describir la posición de la partícula <math>\,P\,</math>, así como la base polar <math>\,\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> para expresar las magnitudes vectoriales.

# Plantee la segunda ley de Newton para la partícula <math>P\,</math> en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\theta(t).\,</math> (b) La fuerza de reacción vincular <math>\,\vec{\Phi}(\theta,\dot{\theta})\,</math> que ejerce el aro sobre la partícula.
# Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula <math>\,P\,</math>, exprésela como una función de <math>\,\theta\,</math> y <math>\,\dot{\theta}\,</math>, y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición <math>\,\theta=0.\,</math>
# Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula <math>\,P\,</math>, y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular==
Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan tres fuerzas: dos de naturaleza activa (su peso <math>\,m\vec{g}\,</math> y la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y una de reacción vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por el aro). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial. Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=-mg\,\vec{\jmath}=-mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{F}_k=-k\,\left(|\,\overrightarrow{QP}\,|-l_0\right)\,\vec{\imath}=-\displaystyle\frac{2\,mg}{R}\,[\,R+R\,\mathrm{cos}(\theta)-R\,]\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,]= \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\,mg\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.
</math></center>
La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:{{qquad}}
<math>
\,\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math>

pero al particularizar para la trayectoria: {{qquad}} <math>\,\,\rho=R\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\rho}=0\,</math>,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<math>
\vec{a}=-\,R\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\vec{u}_{\rho}+R\,\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -mg\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,mg\,\mathrm{cos}^2(\theta)+\Phi=-\,m\,R\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ 
-mg\,\mathrm{cos}(\theta)+2\,mg\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{cos}(\theta)=m\,R\,\ddot{\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\theta(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,R\,\ddot{\theta}+g\,\mathrm{cos}(\theta)\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta)\,]=0
</math></center>

La fuerza de reacción vincular que ejerce el aro sobre la partícula se obtiene despejando <math>\Phi\,</math> en la ecuación (1) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,]-\,mR\,\dot{\theta}^{\, 2} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left\{mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\,]-mR\,\dot{\theta}^{\, 2}\right\} \,\vec{u}_{\rho}
</math></center>

==Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación==
La fuerza de reacción vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y fijo). Así que todas las fuerzas que trabajan sobre la partícula (peso y elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica <math>E\,</math> (suma de su energía cinética <math>K\,</math> y su energía potencial <math>U\,</math>). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos ha permitido deducir la integral primera del movimiento de la partícula que se nos pedía: <math>E\,</math> es una integral primera.

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de <math>\,\theta\,</math> y <math>\,\dot{\theta}</math>. 

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

pero al particularizar para la trayectoria: {{qquad}} <math>\,\,\rho=R\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,</math>,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<math>
\vec{v}=R\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math>

Así que la energía cinética de la partícula vale:
<center><math>
K=\frac{1}{2}\,m\,v^{\, 2}=\frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^{\, 2}
</math></center>

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es la suma de sus energías potenciales gravitatoria <math>U_g\,</math> y elástica <math>U_k\,</math>:

<math>
U=U_g+\,U_k=mgy\,+\frac{1}{2}k\left(|\,\overrightarrow{QP}\,|-l_0\right)^{\, 2}=mgR\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,\frac{1}{2}\,\frac{2mg}{R}\,[\,R\,+\,R\,\mathrm{cos}(\theta)\,-R\,]^{\, 2}=
</math>

<math>
\,\,\,\,\,\,=mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]
</math>

Obsérvese que las expresiones propuestas para <math>U_g\,</math> y <math>U_k\,</math> corresponden a tomar sus respectivos orígenes en <math>\,y=0\,\,</math> y <math>\,|\,\overrightarrow{QP}\,|=l_0.\,</math>

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:  
<center><math>
E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}\,mR^2\dot{\theta}^{\, 2}+mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]=\mathrm{cte}
</math></center>

El valor constante de esta integral primera se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas <math>\,\theta(0)=0\,</math>, <math>\,\,\dot{\theta}(0)=0\,</math>:
<center><math>
E(0,0)=mgR \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,mR^2\dot{\theta}^{\, 2}+mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]=mgR
</math></center>

Nótese que, desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función <math>\,\theta(t)</math>:
<center><math>
R\,\dot{\theta}^{\, 2}+2\,g\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)-1\,]=0
</math></center>
Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

==Posiciones de equilibrio mecánico y su clasificación==
Si exigimos la condición de equilibrio:{{qquad}} <math>m\vec{g}+\vec{F}_k+\vec{\Phi}=\vec{0}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre la dirección acimutal, obtenemos la ecuación escalar que deben satisfacer las posiciones de equilibrio <math>\,\theta^{\,\mathrm{eq}}\,</math> de la partícula:
<center><math>
-mg\,\mathrm{cos}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,]=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,
\left\{\begin{array}{lll} \mathrm{cos}\,(\theta^{\,\mathrm{eq}})=0 & \,\Rightarrow\, & \theta_1^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\,\mathrm{rad}\,\,;\,\,\,\,\,\theta_2^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\,\,\mathrm{rad} \\ \\ 1-2\,\mathrm{sen}(\theta^{\,\mathrm{eq}})=0 & \,\Rightarrow\, & \theta_3^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\,\mathrm{rad}\,\,;\,\,\,\,\,\theta_4^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\,\,\mathrm{rad} \end{array}\right.
</math></center>

Para clasificar las posiciones de equilibrio según correspondan a equilibrio estable o inestable, necesitamos primero recuperar la expresión anteriormente obtenida de la energía potencial de la partícula en función de su posición <math>\,\theta\,</math>:
<center><math>
U(\theta)=mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,+\,\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)\,]
</math></center>

Las posiciones de equilibrio de la partícula podrían haberse obtenido de forma alternativa calculando los extremos (máximos o mínimos) de la función energía potencial <math>\,U(\theta)\,</math>. Para ello, se igualaría a cero la primera derivada de la función respecto a su variable:
<center><math>
\left.\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta\,=\,\theta^{\,\mathrm{eq}}}=mgR\,\mathrm{cos}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,[\,1-2\,\mathrm{sen}(\theta^{\,\mathrm{eq}})\,]=0
</math></center>
Pero ya hemos determinado previamente las cuatro soluciones de esta ecuación de equilibrio. Una posición de equilibrio será estable cuando el extremo que la función <math>\,U(\theta)\,</math> tenga en dicha posición sea un mínimo, y sin embargo será inestable cuando el extremo correspondiente sea un máximo.

Necesitamos, pues, determinar la segunda derivada de <math>\,U(\theta)\,</math> respecto a su variable:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}=-mgR\,[\,\mathrm{sen}(\theta)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}(\theta)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}(\theta)\,]
</math></center>
y evaluarla en las posiciones de equilibrio :
<center><math>
\begin{array}{l}
\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,\pi/2}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\,\right]=mgR>0 \\ \\
\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,3\pi/2}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\,\right]=3\,mgR>0 \\ \\
\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,\pi/6}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\,\right]=-\,\displaystyle\frac{3}{2}\,mgR<0 \\ \\
\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^{\, 2}}\right|_{\theta\,=\,5\pi/6}=-mgR\left[\,\mathrm{sen}\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)+2\,\mathrm{cos}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)-2\,\mathrm{sen}^{\, 2}\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\,\right]=-\,\displaystyle\frac{3}{2}\,mgR<0
\end{array}
</math></center>
Aquellas posiciones de equilibrio en las que la derivada segunda tiene signo positivo corresponden a mínimos de energía potencial y, por tanto, son posiciones de equilibrio estable. Por el contrario, aquellas otras posiciones de equilibrio en las que la derivada segunda tiene signo negativo corresponden a máximos de energía potencial y, por tanto, son posiciones de equilibrio inestable.

Así que:

<math>
\,\,\,\,\,\begin{array}{l}
\theta_1^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{ESTABLE} \\ \\
\theta_2^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{ESTABLE} \\ \\
\theta_3^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{INESTABLE} \\ \\
\theta_4^{\,\mathrm{eq}}=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\,\mathrm{rad}\,\,\,\,\,\mathrm{es}\,\,\,\mathrm{INESTABLE}
\end{array}
</math>

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