No Boletín - Partícula en aro (Ex.Sep/15)

Enunciado

En el plano vertical $\,OXY\,$ (gravedad: ${\vec {g}}=-g\,{\vec {\jmath }}\,$) se halla una partícula $P\,$, de masa $\,m\,$, ensartada sin rozamiento en un aro fijo de radio $\,R\,$ y centro en $O\,$. Dicha partícula está conectada a una guía vertical fija (de ecuación $\,x=-R\,$) mediante un resorte elástico $\,QP\,$ de constante recuperadora $\,k=2mg/R\,$ y longitud natural $\,l_{0}=R.\,$ El extremo $\,Q\,$ se desplaza sobre la citada guía de tal modo que el resorte $\,QP\,$ permanece en todo instante paralelo al eje $OX.\,$

Se propone la coordenada acimutal $\,\theta \,$ (definida en la figura) para describir la posición de la partícula $\,P\,$, así como la base polar $\,\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}\,$ para expresar las magnitudes vectoriales.

1. Plantee la segunda ley de Newton para la partícula $P\,$ en la base polar y, separando componentes, obtenga: (a) La ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta (t).\,$ (b) La fuerza de reacción vincular $\,{\vec {\Phi }}(\theta ,{\dot {\theta }})\,$ que ejerce el aro sobre la partícula.
2. Deduzca razonadamente (mediante algún teorema de conservación) una integral primera del movimiento de la partícula $\,P\,$, exprésela como una función de $\,\theta \,$ y $\,{\dot {\theta }}\,$, y determine su valor constante para el supuesto de que la partícula se encuentre inicialmente en reposo en la posición $\,\theta =0.\,$
3. Halle todas las posiciones de equilibrio mecánico de la partícula $\,P\,$, y clasifíquelas según correspondan a equilibrio estable o inestable.

Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular

Sobre la partícula $\,P\,$ actúan tres fuerzas: dos de naturaleza activa (su peso $\,m{\vec {g}}\,$ y la fuerza elástica $\,{\vec {F}}_{k}\,$ ejercida por el resorte) y una de reacción vincular (la fuerza $\,{\vec {\Phi }}\,$ ejercida por el aro). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), ${\vec {\Phi }}\,$ es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial. Las expresiones analíticas de las tres fuerzas en la base polar son las siguientes:

$\left\{{\begin{array}{l}m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}=-mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]\\\\{\vec {F}}_{k}=-k\,\left(|\,{\overrightarrow {QP}}\,|-l_{0}\right)\,{\vec {\imath }}=-\displaystyle {\frac {2\,mg}{R}}\,[\,R+R\,\mathrm {cos} (\theta )-R\,]\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]=\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\,mg\,\mathrm {cos} (\theta )\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\,]\\\\{\vec {\Phi }}=\Phi \,{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.$

La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:   $\,{\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{\,2})\,{\vec {u}}_{\rho }+(2\,{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,)\,{\vec {u}}_{\theta }$

pero al particularizar para la trayectoria:    $\,\,\rho =R\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\rho }}=0\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\ddot {\rho }}=0\,$,   queda:   ${\vec {a}}=-\,R\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,{\vec {u}}_{\rho }+R\,{\ddot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Planteamos la segunda ley de Newton:   $m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}=m\,{\vec {a}}$   y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:

$\left\{{\begin{array}{l}-mg\,\mathrm {sen} (\theta )-2\,mg\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )+\Phi =-\,m\,R\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\\-mg\,\mathrm {cos} (\theta )+2\,mg\,\mathrm {sen} (\theta )\,\mathrm {cos} (\theta )=m\,R\,{\ddot {\theta }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}}\right.$

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función $\,\theta (t)$:

$\mathrm {(2)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,R\,{\ddot {\theta }}+g\,\mathrm {cos} (\theta )\,[\,1-2\,\mathrm {sen} (\theta )\,]=0$

La fuerza de reacción vincular que ejerce el aro sobre la partícula se obtiene despejando $\Phi \,$ en la ecuación (1) y sustituyendo en la expresión vectorial de $\,{\vec {\Phi }}\,$:

$\mathrm {(1)} \,\,\,\longrightarrow \,\,\,\Phi =mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,2\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,]-\,mR\,{\dot {\theta }}^{\,2}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {\Phi }}=\left\{mg\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,2\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\,]-mR\,{\dot {\theta }}^{\,2}\right\}\,{\vec {u}}_{\rho }$

Integral primera del movimiento: deducción, expresión y evaluación

La fuerza de reacción vincular ${\vec {\Phi }}\,$ no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (vínculo liso y fijo). Así que todas las fuerzas que trabajan sobre la partícula (peso y elástica) son conservativas, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica $E\,$ (suma de su energía cinética $K\,$ y su energía potencial $U\,$). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos ha permitido deducir la integral primera del movimiento de la partícula que se nos pedía: $E\,$ es una integral primera.

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de $\,\theta \,$ y $\,{\dot {\theta }}$.

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:  

${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

pero al particularizar para la trayectoria:    $\,\,\rho =R\,\,\mathrm {(cte)} \,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\dot {\rho }}=0\,$,   queda:   ${\vec {v}}=R\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Así que la energía cinética de la partícula vale:

$K={\frac {1}{2}}\,m\,v^{\,2}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}$

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es la suma de sus energías potenciales gravitatoria $U_{g}\,$ y elástica $U_{k}\,$:

$U=U_{g}+\,U_{k}=mgy\,+{\frac {1}{2}}k\left(|\,{\overrightarrow {QP}}\,|-l_{0}\right)^{\,2}=mgR\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {2mg}{R}}\,[\,R\,+\,R\,\mathrm {cos} (\theta )\,-R\,]^{\,2}=$

$\,\,\,\,\,\,=mgR\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,\mathrm {cos} ^{\,2}(\theta )\,]$

Obsérvese que las expresiones propuestas para $U_{g}\,$ y $U_{k}\,$ corresponden a tomar sus respectivos orígenes en $\,y=0\,\,$ y $\,|\,{\overrightarrow {QP}}\,|=l_{0}.\,$

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:

$E(\theta ,{\dot {\theta }})=K+U={\frac {1}{2}}\,mR^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}+mgR\,[\,\mathrm {sen} (\theta )+\mathrm {cos} ^{\,2}(\theta )\,]=\mathrm {cte}$

El valor constante de esta integral primera se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas $\,\theta (0)=0\,$, $\,\,{\dot {\theta }}(0)=0\,$:

$E(0,0)=mgR\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}\,mR^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}+mgR\,[\,\mathrm {sen} (\theta )+\mathrm {cos} ^{\,2}(\theta )\,]=mgR$

Nótese que, desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función $\,\theta (t)$:

$R\,{\dot {\theta }}^{\,2}+2\,g\,[\,\mathrm {sen} (\theta )+\mathrm {cos} ^{\,2}(\theta )-1\,]=0$

Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

Posiciones de equilibrio mecánico y su clasificación

Si exigimos la condición de equilibrio:   $m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}$   y la proyectamos sobre la dirección acimutal, obtenemos la ecuación escalar que deben satisfacer las posiciones de equilibrio $\,\theta ^{\,\mathrm {eq} }\,$ de la partícula:

$-mg\,\mathrm {cos} (\theta ^{\,\mathrm {eq} })\,[\,1-2\,\mathrm {sen} (\theta ^{\,\mathrm {eq} })\,]=0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\left\{{\begin{array}{lll}\mathrm {cos} \,(\theta ^{\,\mathrm {eq} })=0&\,\Rightarrow \,&\theta _{1}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,\,\mathrm {rad} \,\,;\,\,\,\,\,\theta _{2}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\,\,\mathrm {rad} \\\\1-2\,\mathrm {sen} (\theta ^{\,\mathrm {eq} })=0&\,\Rightarrow \,&\theta _{3}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\,\,\mathrm {rad} \,\,;\,\,\,\,\,\theta _{4}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\,\,\mathrm {rad} \end{array}}\right.$

Para clasificar las posiciones de equilibrio según correspondan a equilibrio estable o inestable, necesitamos primero recuperar la expresión anteriormente obtenida de la energía potencial de la partícula en función de su posición $\,\theta \,$:

$U(\theta )=mgR\,[\,\mathrm {sen} (\theta )\,+\,\mathrm {cos} ^{\,2}(\theta )\,]$

Las posiciones de equilibrio de la partícula podrían haberse obtenido de forma alternativa calculando los extremos (máximos o mínimos) de la función energía potencial $\,U(\theta )\,$. Para ello, se igualaría a cero la primera derivada de la función respecto a su variable:

$\left.{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} \theta }}\right|_{\theta \,=\,\theta ^{\,\mathrm {eq} }}=mgR\,\mathrm {cos} (\theta ^{\,\mathrm {eq} })\,[\,1-2\,\mathrm {sen} (\theta ^{\,\mathrm {eq} })\,]=0$

Pero ya hemos determinado previamente las cuatro soluciones de esta ecuación de equilibrio. Una posición de equilibrio será estable cuando el extremo que la función $\,U(\theta )\,$ tenga en dicha posición sea un mínimo, y sin embargo será inestable cuando el extremo correspondiente sea un máximo.

Necesitamos, pues, determinar la segunda derivada de $\,U(\theta )\,$ respecto a su variable:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{\,2}}}=-mgR\,[\,\mathrm {sen} (\theta )+2\,\mathrm {cos} ^{\,2}(\theta )-2\,\mathrm {sen} ^{\,2}(\theta )\,]$

y evaluarla en las posiciones de equilibrio :

${\begin{array}{l}\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{\,2}}}\right|_{\theta \,=\,\pi /2}=-mgR\left[\,\mathrm {sen} \!\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\right)+2\,\mathrm {cos} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\right)-2\,\mathrm {sen} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\right)\,\right]=mgR>0\\\\\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{\,2}}}\right|_{\theta \,=\,3\pi /2}=-mgR\left[\,\mathrm {sen} \!\left(\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\right)+2\,\mathrm {cos} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\right)-2\,\mathrm {sen} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\right)\,\right]=3\,mgR>0\\\\\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{\,2}}}\right|_{\theta \,=\,\pi /6}=-mgR\left[\,\mathrm {sen} \!\left(\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\right)+2\,\mathrm {cos} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\right)-2\,\mathrm {sen} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\right)\,\right]=-\,\displaystyle {\frac {3}{2}}\,mgR<0\\\\\left.\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{\,2}}}\right|_{\theta \,=\,5\pi /6}=-mgR\left[\,\mathrm {sen} \!\left(\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\right)+2\,\mathrm {cos} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\right)-2\,\mathrm {sen} ^{\,2}\!\left(\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\right)\,\right]=-\,\displaystyle {\frac {3}{2}}\,mgR<0\end{array}}$

Aquellas posiciones de equilibrio en las que la derivada segunda tiene signo positivo corresponden a mínimos de energía potencial y, por tanto, son posiciones de equilibrio estable. Por el contrario, aquellas otras posiciones de equilibrio en las que la derivada segunda tiene signo negativo corresponden a máximos de energía potencial y, por tanto, son posiciones de equilibrio inestable.

Así que:

$\,\,\,\,\,{\begin{array}{l}\theta _{1}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,\mathrm {rad} \,\,\,\,\,\mathrm {es} \,\,\,\mathrm {ESTABLE} \\\\\theta _{2}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\,\mathrm {rad} \,\,\,\,\,\mathrm {es} \,\,\,\mathrm {ESTABLE} \\\\\theta _{3}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\,\mathrm {rad} \,\,\,\,\,\mathrm {es} \,\,\,\mathrm {INESTABLE} \\\\\theta _{4}^{\,\mathrm {eq} }=\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\,\mathrm {rad} \,\,\,\,\,\mathrm {es} \,\,\,\mathrm {INESTABLE} \end{array}}$