Ver el código de «Determinación de un vector a partir de sus proyecciones»

==Enunciado==
Se tiene un vector conocido, no nulo, <math>\vec{A}</math> y uno que se desea determinar, <math>\vec{X}</math>. Se dan como datos su producto escalar y su
producto vectorial por <math>\vec{A}</math>

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}</math></center>

Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar <math>\vec{X}</math>?
==Solución==
Ante este problema existe la tentación de &ldquo;pasar uno de los vectores al otro lado dividiendo&rdquo;. Algo así como

<center><math>\vec{X}=\frac{k}{\vec{A}}\qquad \mbox{INCORRECTO}</math></center>

Esta expresión no posee significado alguno, ya que no está definida la división por un vector.

La forma de hallar el vector incógnita es con ayuda del doble producto vectorial

<center><math>(\vec{A}\times\vec{X})\times\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{A})\vec{X}-(\vec{A}\cdot\vec{X})\vec{A}</math></center>

Sustituyendo en esta expresión lo que conocemos

<center><math>\vec{C}\times\vec{A}=|\vec{A}|^2\vec{X}-k\vec{A}</math></center>

y de aquí sí podemos despejar <math>\vec{X}</math>, por estar multiplicado por un escalar

<center><math>\vec{X}=\frac{\vec{C}\times\vec{A}}{|\vec{A}|^2}+\frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}</math></center>

Vemos que para llegar al resultado necesitamos los dos productos, el escalar y el vectorial y no nos basta uno de ellos.

==Interpretación geométrica==
Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla. El vector <math>\vec{X}</math> tendrá una componente paralela y una ortogonal al vector <math>\vec{A}</math>. 

<center><math>\vec{X}=\vec{X}_\parallel + \vec{X}_\perp</math></center>

La parte paralela tendrá por módulo la proyección paralela a <math>\vec{A}</math> y su dirección estará dada por la del unitario en la dirección de <math>\vec{A}</math>

<center><math>\vec{X}_\parallel = X_\parallel \vec{u}_A = \frac{\vec{X}\cdot\vec{A}}{|\vec{A}|}\,\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}</math></center>

esto es, el conocimiento del producto escalar nos da la parte paralela, pero no todo el vector.

La parte perpendicular la obtenemos a partir de <math>\vec{C}</math>, ya que

<center><math>X_\perp = \frac{|\vec{X}\times\vec{A}|}{|\vec{A}|} = \frac{|\vec{C}|}{|\vec{A}|}</math></center>

Por ello el conocimiento de solo el producto vectorial tampoco nos da todo el vector, ya que nos faltaría la parte paralela.

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