Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Enunciado

Se tiene un vector conocido, no nulo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}} y uno que se desea determinar, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}} . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por ${\vec {A}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}}

Determine el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}} . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}} ?

Solución

Ante este problema existe la tentación de “pasar uno de los vectores al otro lado dividiendo”. Algo así como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}=\frac{k}{\vec{A}}\qquad \mbox{INCORRECTO}}

Esta expresión no posee significado alguno, ya que no está definida la división por un vector.

La forma de hallar el vector incógnita es con ayuda del doble producto vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{A}\times\vec{X})\times\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{A})\vec{X}-(\vec{A}\cdot\vec{X})\vec{A}}

Sustituyendo en esta expresión lo que conocemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}\times\vec{A}=|\vec{A}|^2\vec{X}-k\vec{A}}

y de aquí sí podemos despejar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}} , por estar multiplicado por un escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}=\frac{\vec{C}\times\vec{A}}{|\vec{A}|^2}+\frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}}

Vemos que para llegar al resultado necesitamos los dos productos, el escalar y el vectorial y no nos basta uno de ellos.

Interpretación geométrica

Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla. El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}} tendrá una componente paralela y una ortogonal al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}} .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}=\vec{X}_\parallel + \vec{X}_\perp}

La parte paralela tendrá por módulo la proyección paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}} y su dirección estará dada por la del unitario en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{X}_\parallel = X_\parallel \vec{u}_A = \frac{\vec{X}\cdot\vec{A}}{|\vec{A}|}\,\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}}

esto es, el conocimiento del producto escalar nos da la parte paralela, pero no todo el vector.

La parte perpendicular la obtenemos a partir de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}} , ya que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_\perp = \frac{|\vec{X}\times\vec{A}|}{|\vec{A}|} = \frac{|\vec{C}|}{|\vec{A}|}}

Por ello el conocimiento de solo el producto vectorial tampoco nos da todo el vector, ya que nos faltaría la parte paralela.