Tubo con oxígeno y nitrógeno

Un tubo rígido de paredes adiabáticas contiene dos cantidades de $\mathrm {O} _{2}$ y $<math>N$_2</math> (γ = 1.4 para ambos) a diferente presión y temperatura. La sección transversal del tubo es de 100 cm² y la distancia inicial del émbolo a cada pared es 30 cm. Los gases están inicialmente a las temperaturas y presiones indicadas en la figura. El tabique central está fijado con pernos y contiene un aislante térmico.

1. ¿Cuánto vale la fuerza sobre el tabique central?

Supongamos que se retira el aislante térmico (dejando fijo el pistón) y se espera hasta que se alcanza el equilibrio térmico.

2. ¿Cuál es la temperatura final de las dos cámaras? ¿Cuánto calor ha pasado de una a la otra?
3. ¿Cuál es la fuerza neta sobre el pistón en el nuevo equilibrio?

Ahora se retiran los pernos y se deja que el pistón se mueva. En este proceso la temperatura no cambia. Una vez que se ha alcanzado el equilibrio mecánico y térmico

4. ¿Cuál es la presión de los gases?
5. ¿A qué distancia de la pared izquierda está el pistón?

Ahora se hace un agujero en el pistón y se deja que los gases se mezclen.

6. ¿Cuál es la presión parcial de cada gas tras la mezcla?

Fuerza sobre el tabique

Obtenemos la fuerza a partir de la diferencia entre presiones

$F_{O\to N}=(p_{O1}-p_{N1})S=(200-100)\,\mathrm {kPa} \cdot 100\,\mathrm {cm} ^{2}\cdot \left({\frac {1\,\mathrm {m} }{100\,\mathrm {cm} }}\right)^{2}{\frac {1000\,\mathrm {Pa} }{1\,\mathrm {kPa} }}=1000\,\mathrm {N}$

Equilibrio térmico

Como en otros problemas (1, 2) obtenemos la temperatura de equilibrio a partir de las temperaturas iniciales y las capacidades caloríficas respectivas

$T_{2}=T_{O2}=T_{N2}={\frac {C_{O}T_{O1}+C_{N}T_{N1}}{C_{O}+C_{N}}}$

siendo las capacidades caloríficas a volumen constante

$C_{O}=n_{O}c_{v}={\frac {n_{O}R}{\gamma -1}}={\frac {p_{O1}V_{O1}}{(\gamma -1)T_{O1}}}={\frac {200\cdot 3}{400\cdot 0.4}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=3.75\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$ $C_{N}={\frac {p_{N1}V_{N1}}{(\gamma -1)T_{N1}}}={\frac {100\cdot 3}{300\cdot 0.4}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=2.50\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

lo que da la temperatura final

$T_{2}=T_{O2}=T_{N2}={\frac {3.75\cdot 400+2.50\cdot 300}{3.75+2.50}}\,\mathrm {K} =360\,\mathrm {K}$

La cantidad de calor que entra en el oxígeno es

$Q_{O}=C_{O}(T_{2}-T_{O1})=3.75(360-400)\,\mathrm {J} =-150\,\mathrm {J}$

y la que entra en el nitrógeno

$Q_{N}=C_{N}(T_{2}-T_{N1})=2.50(360-300)\,\mathrm {J} =+150\,\mathrm {J}$

Nueva fuerza sobre el pistón

Las nuevas presiones de ambos gases las hallamos por la ley de Amontons, pues el volumen de cada gas no cambia

$p_{O2}={\frac {T_{2}}{T_{O1}}}p_{O1}={\frac {360}{400}}200\,\mathrm {kPa} =180\,\mathrm {kPa}$ $p_{N2}={\frac {T_{2}}{T_{N1}}}p_{N1}={\frac {360}{300}}100\,\mathrm {kPa} =120\,\mathrm {kPa}$

con lo que la nueva fuerza sobre el pistón es

$F_{2}=(p_{O2}-p_{N2})S=(180-120)\,\mathrm {kPa} \cdot 100\,\mathrm {cm} ^{2}=600\,\mathrm {N}$

Liberación del pistón

Una vez liberado el pistón se produce un proceso no cuasiestático, pero, tal como se ve en el problema “Tres cámaras con aire” la temperatura al final del proceso es la misma que al principio.

$T_{3}=T_{O3}=T_{N3}=T_{2}=360\,\mathrm {K}$

Una vez alcanzado el equilibrio mecánico la presión de ambos gases es la misma

$p_{3}=p_{O3}=p_{N3}$

Esto permite usar la ley de los gases ideales para ambas cámaras

${\frac {p_{3}V_{O3}}{T_{3}}}={\frac {p_{O1}V_{O1}}{T_{O1}}}\qquad \qquad {\frac {p_{3}V_{N3}}{T_{3}}}={\frac {p_{N1}V_{N1}}{T_{N1}}}$

Si sumamos las dos ecuaciones queda

${\frac {p_{3}}{T_{3}}}(V_{O3}+V_{N3})={\frac {p_{O1}V_{O1}}{T_{O1}}}+{\frac {p_{N1}V_{N1}}{T_{N1}}}$

y, teniendo en cuenta que el volumen total no cambia,

$V_{O3}+V_{N3}=V_{O1}+V_{N1}=V_{T}=6\,\mathrm {L}$

obtenemos la presión final, que es la misma para los dos gases

$p_{3}={\frac {T_{2}}{V_{T}}}\left({\frac {p_{O1}V_{O1}}{T_{O1}}}+{\frac {p_{N1}V_{N1}}{T_{N1}}}\right)={\frac {360}{6}}\left({\frac {200\cdot 3}{400}}+{\frac {100\cdot 3}{300}}\right)\,\mathrm {kPa} =150\,\mathrm {kPa}$

y esto nos da el volumen final de cada cámara

$V_{O3}={\frac {p_{O1}}{p_{3}}}\,{\frac {T_{3}}{T_{O1}}}V_{O1}={\frac {200}{150}}\times {\frac {360}{400}}\times 3\,\mathrm {L} =3.6\,\mathrm {L}$ $V_{N3}={\frac {p_{N1}}{p_{3}}}\,{\frac {T_{3}}{T_{N1}}}V_{N1}={\frac {100}{150}}\times {\frac {360}{300}}\times 3\,\mathrm {L} =2.4\,\mathrm {L}$

En términos de la posición del pistón teniendo en cuenta que el cilindro tiene una sección de 100 cm², resulta una posición del pistón a 36 cm de la pared dercha y 24 cm de la izquierda, ocupando el oxígeno el 60% del volumen.

Presiones parciales

Una vez que se perfora el pistón y los gases se mezclan, la temperatura no cambia, pero la presión de cada uno se reduce porque pasan a ocupar el volumen completo. La presión parcial de cada gas es

$p_{O4}={\frac {V_{O3}}{V_{T}}}\,p_{3}={\frac {3.6}{6}}\,150\,\mathrm {kPa} =90\,\mathrm {kPa}$ $p_{N4}={\frac {V_{N3}}{V_{T}}}\,p_{3}={\frac {2.4}{6}}\,150\,\mathrm {kPa} =60\,\mathrm {kPa}$

La presión total de la mezcla sigue siendo la misma.