Un tubo rígido de paredes adiabáticas contiene dos cantidades de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{O}_2}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle <math>N}
_2</math> (γ = 1.4 para ambos) a diferente presión y temperatura. La sección transversal del tubo es de 100 cm² y la distancia inicial del émbolo a cada pared es 30 cm. Los gases están inicialmente a las temperaturas y presiones indicadas en la figura. El tabique central está fijado con pernos y contiene un aislante térmico.
- ¿Cuánto vale la fuerza sobre el tabique central?
Supongamos que se retira el aislante térmico (dejando fijo el pistón) y se espera hasta que se alcanza el equilibrio térmico.
- ¿Cuál es la temperatura final de las dos cámaras? ¿Cuánto calor ha pasado de una a la otra?
- ¿Cuál es la fuerza neta sobre el pistón en el nuevo equilibrio?
Ahora se retiran los pernos y se deja que el pistón se mueva. En este proceso la temperatura no cambia. Una vez que se ha alcanzado el equilibrio mecánico y térmico
- ¿Cuál es la presión de los gases?
- ¿A qué distancia de la pared izquierda está el pistón?
Ahora se hace un agujero en el pistón y se deja que los gases se mezclen.
- ¿Cuál es la presión parcial de cada gas tras la mezcla?
Fuerza sobre el tabique
Obtenemos la fuerza a partir de la diferencia entre presiones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{O\to N}= (p_{O1}-p_{N1})S = (200-100)\,\mathrm{kPa}\cdot 100\,\mathrm{cm}^2\cdot\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{cm}}\right)^2 \frac{1000\,\mathrm{Pa}}{1\,\mathrm{kPa}}=1000\,\mathrm{N}}
Equilibrio térmico
Como en otros problemas (1, 2) obtenemos la temperatura de equilibrio a partir de las temperaturas iniciales y las capacidades caloríficas respectivas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_{2}=T_{O2}=T_{N2}=\frac{C_O T_{O1}+C_N T_{N1}}{C_O+C_N}}
siendo las capacidades caloríficas a volumen constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_O=n_O c_v = \frac{n_O R}{\gamma-1}=\frac{p_{O1} V_{O1}}{(\gamma-1)T_{O1}} = \frac{200\cdot 3}{400\cdot 0.4}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=3.75\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_N=\frac{p_{N1} V_{N1}}{(\gamma-1)T_{N1}} = \frac{100\cdot 3}{300\cdot 0.4}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=2.50\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
lo que da la temperatura final
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2=T_{O2}=T_{N2}=\frac{3.75\cdot 400+2.50\cdot 300}{3.75+2.50}\,\mathrm{K} = 360\,\mathrm{K}}
La cantidad de calor que entra en el oxígeno es
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y la que entra en el nitrógeno
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_N=C_N(T_2-T_{N1})=2.50(360-300)\,\mathrm{J}=+150\,\mathrm{J}}
Nueva fuerza sobre el pistón
Las nuevas presiones de ambos gases las hallamos por la ley de Amontons, pues el volumen de cada gas no cambia
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{O2}=\frac{T_2}{T_{O1}}p_{O1}=\frac{360}{400}200\,\mathrm{kPa}=180\,\mathrm{kPa}}
con lo que la nueva fuerza sobre el pistón es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_2=(p_{O2}-p_{N2})S=(180-120)\,\mathrm{kPa}\cdot 100\,\mathrm{cm}^2=600\,\mathrm{N}}
Liberación del pistón
Una vez liberado el pistón se produce un proceso no cuasiestático, pero, tal como se ve en el problema “Tres cámaras con aire” la temperatura al final del proceso es la misma que al principio.
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Una vez alcanzado el equilibrio mecánico la presión de ambos gases es la misma
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Esto permite usar la ley de los gases ideales para ambas cámaras
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_3 V_{O3}}{T_3} =\frac{p_{O1}V_{O1}}{T_{O1}}\qquad\qquad \frac{p_3 V_{N3}}{T_3} =\frac{p_{N1}V_{N1}}{T_{N1}}}
Si sumamos las dos ecuaciones queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_3}{T_3}(V_{O3}+V_{N3})=\frac{p_{O1}V_{O1}}{T_{O1}}+\frac{p_{N1}V_{N1}}{T_{N1}}}
y, teniendo en cuenta que el volumen total no cambia,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{O3}+V_{N3}=V_{O1}+V_{N1}=V_T=6\,\mathrm{L}}
obtenemos la presión final, que es la misma para los dos gases
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_3=\frac{T_2}{V_T}\left(\frac{p_{O1}V_{O1}}{T_{O1}}+\frac{p_{N1}V_{N1}}{T_{N1}}\right)=\frac{360}{6}\left(\frac{200\cdot 3}{400}+\frac{100\cdot 3}{300}\right)\,\mathrm{kPa} = 150\,\mathrm{kPa}}
y esto nos da el volumen final de cada cámara
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{O3}=\frac{p_{O1}}{p_3}\,\frac{T_3}{T_{O1}} V_{O1}=\frac{200}{150}\times\frac{360}{400}\times 3\,\mathrm{L}=3.6\,\mathrm{L}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{N3}=\frac{p_{N1}}{p_3}\,\frac{T_3}{T_{N1}} V_{N1}=\frac{100}{150}\times\frac{360}{300}\times 3\,\mathrm{L}=2.4\,\mathrm{L}}
En términos de la posición del pistón teniendo en cuenta que el cilindro tiene una sección de 100 cm², resulta una posición del pistón a 36 cm de la pared dercha y 24 cm de la izquierda, ocupando el oxígeno el 60% del volumen.
Presiones parciales
Una vez que se perfora el pistón y los gases se mezclan, la temperatura no cambia, pero la presión de cada uno se reduce porque pasan a ocupar el volumen completo. La presión parcial de cada gas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{O4}=\frac{V_{O3}}{V_T}\,p_3 = \frac{3.6}{6}\,150\,\mathrm{kPa}= 90\,\mathrm{kPa}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{N4}=\frac{V_{N3}}{V_T}\,p_3 = \frac{2.4}{6}\,150\,\mathrm{kPa}= 60\,\mathrm{kPa}}
La presión total de la mezcla sigue siendo la misma.
