Tres cámaras con aire

Enunciado

Se tiene un sistema formado por tres cámaras de aire seco ($\gamma =1.4$) con paredes externas adiabáticas. Todas las paredes exteriores son rígidas. La cámara de la izquierda contiene 2 L de aire a 200 K y 120 kPa, la cámara central contiene 2 L de aire a 300 K y 120 kPa y la de la derecha 2 L de aire a 600 K y 120 kPa. La sección del tubo es de 100 cm². Entre las cámaras hay tabiques fijados, con aislante térmico que se puede retirar.

1. Suponga que se retira el aislante entre la cámara izquierda y la central. Calcule la temperatura y la presión final de cada una de las dos cámaras, así como el calor que entra o sale de cada una. Halle la fuerza sobre cada tabique al final del paso.
2. Suponga que, tras el paso anterior, se retira el aislante entre la central y la cámara derecha. Calcule la temperatura y la presión final de cada cámara y el calor que entra o sale de cada una. Halle la fuerza sobre cada tabique al final del paso.
3. Repita los dos apartados anteriores, pero suponiendo que los aislantes se retiran en orden inverso.
4. Una vez alcanzado el equilibrio térmico de (2), se retiran los pernos que fijan los tabiques y estos se mueven de forma no cuasiestática. Demuestre que una vez alcanzado el equilibrio mecánico la temperatura es la misma que antes de liberarlos.
5. Halle el volumen de cada cámara una vez alcanzado el equilibrio mecánico.

Introducción

Etiquetaremos las cámaras como 1, 2 y 3, y los sucesivos estados como A, B, C...

Equilibrio entre 1 y 2

Al retirar el aislante las dos cámaras alcanza el equilibrio térmico, siendo la temperatura final

$T_{1B}=T_{2B}={\frac {C_{1}T_{1A}+C_{2}T_{2A}}{C_{1}+C_{2}}}$

Calculamos las capacidades caloríficas. Para cada uno de los gases se verifica

$C_{i}=n_{i}c_{v}={\frac {n_{i}R}{\gamma -1}}={\frac {p_{i}V_{i}}{(\gamma -1)T_{i}}}$

Para la cámara “1”

$C_{1}={\frac {120\cdot 2}{200\cdot (0.4)}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=3\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

para la “2”

$C_{2}={\frac {120\cdot 2}{300\cdot (0.4)}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=2\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

y para la

$3$ $C_{3}={\frac {120\cdot 2}{600\cdot (0.4)}}\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}=1\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$

Esto da la temperatura de las dos cámaras en el estado B

$T_{1B}=T_{2B}={\frac {C_{1}T_{1A}+C_{2}T_{2A}}{C_{1}+C_{2}}}={\frac {3\cdot 200+2\cdot 300}{3+2}}\,\mathrm {K} =240\,\mathrm {K}$

Una vez que tenemos la temperatura, calculamos las presiones empleando la ley de Amontons

$p_{1B}={\frac {T_{1B}}{T_{1A}}}p_{1A}={\frac {240}{200}}120\,\mathrm {kPa} =144\,\mathrm {kPa}$ $p_{2B}={\frac {T_{2B}}{T_{2A}}}p_{2A}={\frac {240}{300}}120\,\mathrm {kPa} =96\,\mathrm {kPa}$

Equilibrio entre 1, 2 y 3

Al retirar el aislante del segundo tabique ponemos en contacto las tres partes, lo que da la temperatura final

$T_{1C}=T_{2C}=T_{3C}={\frac {C_{1}T_{1B}+C_{2}T_{2B}+C_{3}T_{3B}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}={\frac {3\cdot 240+2\cdot 240+1\cdot }{3+2+1}}\,\mathrm {K} =300\,\mathrm {K}$

Las presiones en cada cámara son ahora

$p_{1C}={\frac {T_{1C}}{T_{1A}}}p_{1A}={\frac {300}{200}}120\,\mathrm {kPa} =180\,\mathrm {kPa}$ $p_{2C}={\frac {T_{2C}}{T_{2A}}}p_{2A}={\frac {300}{300}}120\,\mathrm {kPa} =120\,\mathrm {kPa}$ $p_{3C}={\frac {T_{3C}}{T_{3A}}}p_{3A}={\frac {300}{600}}120\,\mathrm {kPa} =60\,\mathrm {kPa}$

Retirada en sentido inverso

Si primero retiramos el aislante entre las cámaras “2” y “3”, la temperatura de equilibrio que alcanzan es

$T_{2D}=T_{3D}={\frac {C_{2}T_{2A}+C_{3}T{3A}}{C_{2}+C_{3}}}={\frac {2\cdot 300+1\cdot 600}{2+1}}\,\mathrm {K} =400\,\mathrm {K}$

siendo las presiones

$p_{2D}={\frac {T_{2D}}{T_{2A}}}p_{1A}={\frac {400}{300}}120\,\mathrm {kPa} =160\,\mathrm {kPa}$ $p_{3D}={\frac {T_{3D}}{T_{3A}}}p_{3A}={\frac {300}{600}}120\,\mathrm {kPa} =60\,\mathrm {kPa}$

Cuando se retira el asilante entre la cámara 1 y la 2, la nueva temperatura final de las tres cámaras es

$T_{1E}=T_{2E}=T_{3E}={\frac {C_{1}T_{1D}+C_{2}T_{2D}+C_{3}T{3D}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}={\frac {3\cdot 200+2\cdot 400+1\cdot 400}{3+2+1}}\,\mathrm {K} =300\,\mathrm {K}$

Resulta la misma temperatura final que si retiramos los aislantes en orden opuesto. Es fácil demostrar que el estado final solo depende de las temperaturas iniciales de cada cámara.

Al ser la misma temperatura que en el otro proceso, las presiones en cada cámara también coinciden con las que allí se tenían.

$p_{1E}={\frac {T_{1E}}{T_{1A}}}p_{1A}={\frac {300}{200}}120\,\mathrm {kPa} =180\,\mathrm {kPa}$ $p_{2E}={\frac {T_{2E}}{T_{2A}}}p_{2A}={\frac {300}{300}}120\,\mathrm {kPa} =120\,\mathrm {kPa}$ $p_{3E}={\frac {T_{3E}}{T_{3A}}}p_{3A}={\frac {300}{600}}120\,\mathrm {kPa} =60\,\mathrm {kPa}$

Retirada de los pernos

Cuando se retiran los pernos, los pistones se mueven violentamente, debido a las diferencias de presiones. Este movimiento comprime alguno de los gases y expande otros. La compresión y la expansión modifican tempralmente la temperatura, de manera no homogénea, hasta que se vuelve a alcanzar el equilibrio térmico.

Para ver que la nueva temperatura de equilibrio es la misma que la anterior aplicamos la ley de conservación de la energía.

Tenemos que el sistema completo, formado por las tres cámaras, tiene paredes rígidas, por lo que no se hace trabajo sobre el conjunto.

$W=W_{1}+W_{2}+W_{3}=0$

Las paredes exteriores del sistema completo son adiabáticas, por lo que tampoco entra calor

$Q=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=0$

Por tanto, no hay variación en la energía interna del conjunto.

$\Delta U=Q+W=0$

Por otro lado, la energía interna de un gas ideal depende solo de su temperatura

$\Delta U=\Delta U_{1}+\Delta U_{2}+\Delta U_{3}=C_{1}(T_{1F}-T_{1C})+C_{1}(T_{1F}-T_{1C})+C_{1}(T_{1F}-T_{1C})$

pero en el estado C (o el E, que es el mismo), todas las cámaras están a la misma temperatura y en el F (tras liberar los pistones) ta,mbién hay equilibrio térmico. Por tanto,

$0=\Delta U=(C_{1}+C_{2}+C_{3})(T_{F}-T_{C})\qquad \Rightarrow \qquad T_{F}=T_{C}=300\,\mathrm {K}$

Volúmenes en el estado final

puesto que entre los estados C y F no hay diferencia de temperatura, podemos aplicar la ley de Boyle a cada una de las cámaras y escribir

$p_{F}V_{1F}=p_{1C}V_{1C}\qquad \qquad p_{F}V_{2F}=p_{2C}V_{2C}\qquad \qquad p_{F}V_{3F}=p_{3C}V_{3C}$

En el equilibrio mecánico, la presión en las tres cámaras es la misma, aunque no conocemos su valor. Sin embargo, si sumamos estas tres ecuaciones obtenemos

$p_{F}(V_{1F}+V_{2F}+V_{3F})=p_{1C}V_{1C}+p_{2C}V_{2C}+p_{3C}V_{3C}$

La suma de los tres volúmenes es la misma en el estado inicial y en el final, por tanto,

$p_{F}={\frac {p_{1C}V_{1C}+p_{2C}V_{2C}+p_{3C}V_{3C}}{V_{1C}+V_{2C}+V_{3C}}}={\frac {180\cdot 2+120\cdot 2+60\cdot 2}{2+2+2}}=120\,\mathrm {kPa}$

y el volumen final de cada cámara es

$V_{1F}={\frac {p_{1C}}{p_{F}}}V_{1C}={\frac {180}{120}}2\,\mathrm {L} =3\,\mathrm {L}$ $V_{2F}={\frac {p_{1C}}{p_{F}}}V_{2C}={\frac {120}{120}}2\,\mathrm {L} =2\,\mathrm {L}$ $V_{3F}={\frac {p_{1C}}{p_{F}}}V_{2C}={\frac {60}{120}}2\,\mathrm {L} =1\,\mathrm {L}$