Segunda Prueba de Control 2020/21 (G.I.E.R.M.)

Partícula subiendo por arco de circunferencia con muelle

partícula de masa $m$ se desliza por una superficie horizontal lisa con velocidad ${\vec {v}}_{0}$. En el punto $A$

empieza a deslizar por un semiaro de radio $R$ como se indica en la figura. El contacto entre la partícula y el semiaro es liso. Durante su movimiento sobre el aro está sometida, además de la gravedad, a la fuerza de un muelle de constante elástica $k=mg/R$ y longitud natural nula. El muelle está anclado en el punto $A$. En la figura se muestran los vectores de la base polar junto con la base cartesiana.

1. Esribe el vector ${\overrightarrow {OA}}$ y la aceleración de la partícula en la base polar.
2. Encuentra la expresión que da la energía mecánica de la partícula para un punto $P$ arbitrario del semiaro es (tomando como referencia de energía potencial gravitatoria nula la altura del eje $X$)
3. ¿Cuál es el valor mínimo de $v_0$ para que la partícula llegue al punto $B$?
4. Escribe la ecuación de movimiento.

Barra deslizando en cuenco semiesférico

Una barra de longitud $L$ (sólido "2") desliza en un cuenco de radio $R$ (sólido "1"). El punto $A$ de la barra desliza sobre la circunferencia del cuenco y el punto de la barra que en cada instante está en contacto con la esquina (punto $C$ en la figura) desliza sobre esa esquina. En el instante indicado en la figura el punto $A$ de la barra está en el punto mas bajo del cuenco. El punto $A$ realiza un movimiento circular uniforme sobre el cuenco con rapidez constante $v_{0}$. Calcula las siguientes magnitudes

1. La posición del C.I.R. del movimiento {21}.
2. La reducción cinemática del movimiento.
3. La velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}$.

Masa con cuerda desenrollándose de un disco

Una masa $m$ desliza sobre una superficie horizontal lisa. Está conectada a un muelle de constante elástica $k=mg/R$ y longitud natural $l_{0}=R$. Por el otro lado tira de ella una cuerda sin masa que puede enrollarse y desenrollarse en un disco de masa $m$ y radio $R$. El disco puede rotar alrededor de un eje perpendicular a él que pasa por su centro. El sistema está sometido a la acción de la gravedad. En el instante inicial la masa se encuentra en el punto $B$. Tanto la masa como el disco están en reposo en ese instante inicial. Durante todo el movimiento la cuerda permanece tensa. El momento de inercia de un disco de masa $M$ y radio $R$ respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro es $I=MR^{2}/2$.

1. Calcula la rapidez de la masa cuando llega al punto $O$
2. ¿Qué trabajo ha hecho la cuerda sobre la masa durante su movimiento?
3. Si el contacto entre la masa y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico $\mu$, calcula la velocidad de la masa en el punto $O$.
4. ¿Qué condición debe cumplir $\mu$ para que la masa no llegue al punto $O$?