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Partícula subiendo por arco de circunferencia con muelle, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de masa m se desliza por una superficie horizontal lisa con velocidad \vec{v}_0. En el punto A empieza a deslizar por un semiaro de radio R como se indica en la figura. El contacto entre la partícula y el semiaro es liso. Durante su movimiento sobre el aro está sometida, además de la gravedad, a la fuerza de un muelle de constante elástica k = mg / R y longitud natural nula. El muelle está anclado en el punto A. En la figura se muestran los vectores de la base polar junto con la base cartesiana.

  1. Esribe el vector \overrightarrow{OA} y la aceleración de la partícula en la base polar.
  2. Encuentra la expresión que da la energía mecánica de la partícula para un punto P arbitrario del semiaro es (tomando como referencia de energía potencial gravitatoria nula la altura del eje X)
  3. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para que la partícula llegue al punto B?
  4. Escribe la ecuación de movimiento.

2 Solución

Vectores en base polar

En la base cartesiana asociada a los ejes de la figura el vector \overrightarrow{OA} se escribe


\overrightarrow{OA} = -R\,\vec{\jmath}.

Usando los vectores de la base polar mostrados en la figura, podemos escribir los vectores de la base cartesiana en la base polar


\begin{array}{l}
\vec{\imath} = \cos\theta\,\vec{u}_r - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{\jmath} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r + \cos\theta\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}

Con esto, el vector pedido es


\overrightarrow{OA} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r - R\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}.

Cuando se mueve sobre el arco de circunferencia la partícula realiza un movimiento circular de radio R. Por tanto, su vector de posición, velocidad y aceleración son


\begin{array}{l}
\vec{r} = \overrightarrow{OP} = R\,\vec{u}_r,\\
\vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}

Energía mecánica

La energía cinética de la partícula es


T = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2.

La energía potencial gravitatoria es


U_g = mgR\,\mathrm{sen}\,\theta.

La energía potencial elástica es


U_k = \dfrac{1}{2}k|\overrightarrow{AP}|^2

Podemos obtener |\overrightarrow{AP}| usando el teorema del coseno. Los lados \overline{OA} y \overline{OP} tienen longitud R. Entonces


|\overrightarrow{AP}|^2 = 2R^2 - 2R^2\cos(\pi/2+\theta) =
2R^2(1+\mathrm{sen}\theta).

Otra forma de calcular esta longitud es a través del vector \overrightarrow{AP}


\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = 
R(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{u}_r + R\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}.

Calculando el módulo de este vector obtenemos la longitud buscada.

Teniendo en cuenta que el enunciado nos dice que k = mg / R, la energía mecánica es


E = T + U_g + U_k = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + mgR(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta).

Valor mínimo de la velocidad

Para que la partícula llegue el punto B la condición que hay que imponer no es que su velocidad en ese punto sea nula, sino que la fuerza normal que ejerce el arco sobre la partícula sea nula. Tenemos que averiguar las furezas que actúan sobre la partícula durante su movimiento.

La figura de la derecha muestra estas fuerzas. Sus expresiones en la base polar son


\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r - mg\cos\theta\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{N} = -N\,\vec{u}_r,\\
\vec{F}_k = -k\overrightarrow{AP} = -mg(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{u}_r - mg\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}

Aplicando la Segunda Ley de Newton


m\vec{a} = \vec{P} + \vec{N} + \vec{F}_k
\to
\left\{
\begin{array}{lr}
-mR\dot{\theta}^2 = -mg\,(1+2\mathrm{sen}\,\theta) - N, & (1)\\
mR\ddot{\theta} = -2mg\cos\theta. & (2)
\end{array}
\right.

De la ecuación (1) obtenemos


N  = mR\dot{\theta}^2 - mg\,(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta).

De la expresión de la velocidad de la partícula en polares vemos que v=R\dot{\theta}. Por tanto podemos escribir


N = \dfrac{mv^2}{R} - mg\,(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta).

Entonces la condición para que la partícula llegue a B (que corresponde a θ = π / 2) es


N=0 \to v_B^2 = 3gR.

Por otro lado, la energía mecánica se conserva. En el punto A se cumple θ = − π / 2. Entonces


\begin{array}{l}
E_A = \dfrac{1}{2}mv_0^2 - mgR,\\
\\
E_B = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + 3mgR.
\end{array}

Igualando las dos expresiones llegamos a


v_0^2 = v_B^2 + 8gR.

Combinando con el valor de vB obtenido antes obtenemos el valor necesario de v0


v_0 = \sqrt{11gR}.

Ecuación de movimiento

La ecuación (2) obtenida al aplicar la Segunda Ley de Newton es la ecuación de movimiento, pues sólo involucra a θ derivadas.


\ddot{\theta} = -\dfrac{2g}{R}\cos\theta.

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