Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)

Masa que cuelga de dos hilos

En la situación de equilibrio de una masa atada con dos hilos, ilustrada en la figura, ¿cuánto valen los módulos de las tensiones respectivas?

Solución

Masa que cuelga de dos hilos oblicuos

Un peso de 16.8 N cuelga del techo suspendido de dos hilos situados como indica la figura. Calcule la tensión de cada hilo.

Solución

Masa girando alrededor de una mano

Una masa de 0.5 kg situada en el extremo de una cuerda de 50 cm de longitud se hace girar horizontalmente con la mano de manera que da 2 vueltas por segundo. ¿Puede estar la cuerda completamente horizontal? Determine la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la horizontal.

Solución

Dos bloques apilados

Sobre una mesa horizontal se encuentran apilados dos bloques, siendo el inferior de masa $m_{1}$ y el superior de masa $m_{2}$. El coeficiente de rozamiento estático del bloque inferior con la mesa vale $\mu _{1}$ y el del segundo bloque con el primero $\mu _{2}$. Los coeficientes de rozamiento dinámico valen lo mismo que los estáticos.

1. Para el estado de reposo y sin fuerzas laterales aplicadas, indique la fuerza que la mesa ejerce sobre el bloque inferior y el que éste ejerce sobre el superior.
2. Suponiendo $\mu _{1}=0$, se tira del bloque inferior con una fuerza horizontal $F$. ¿Qué fuerzas actúan sobre cada bloque? ¿Cuánto debe valer como mínimo esta fuerza si se quiere que el bloque superior se quede atrás? ¿Cuánto vale la aceleración de cada bloque para valores de la fuerza inferiores o superiores a este valor crítico?
3. Resuelva las mismas cuestiones que en el apartado anterior, suponiendo ahora $\mu _{1}\neq 0$.
4. Calcule los valores de las diferentes fuerzas y las aceleraciones si $m_{1}=3.00\,\mathrm {kg}$, $m_{2}=2.00\,\mathrm {kg}$, $\mu _{1}=0.30$, $\mu _{2}=0.50$ para (a) $F=10.0\,\mathrm {N}$ (b) $F=20.0\,\mathrm {N}$ (c) $F=50.0\,\mathrm {N}$

Solución

Doble máquina de Atwood

Se tiene el sistema de dos poleas y tres masas de la figura 5 ($m_{1}=4\,\mathrm {kg}$, $m_{2}=1\,\mathrm {kg}$, $m_{3}=3\,\mathrm {kg}$). Los dos hilos son ideales (inextensibles y sin masa) y las poleas son ideales (sin masa ni fricción). Para este sistema calcule

1. La aceleración de cada una de las masas.
2. La tensión de cada uno de los dos cables.
3. La fuerza que hace el soporte que sujeta el sistema al techo.

Suponga ahora que se sujeta la masa $m_{3}=3\,\mathrm {kg}$, de manera que no puede moverse.

4. ¿Cuál es en ese caso la aceleración de cada una de las otras dos masas?
5. ¿Cuánto vale la tensión de cada cable?
6. ¿Qué fuerza hace el soporte superior y cuál el individuo que sujeta la masa $m_{3}$?

Tome $g=9.8\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$.

Solución

Dos masas, un plano y un hilo

Se tienen dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ atadas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal (de masa despreciable y sin rozamiento). La masa $m_{1}$ se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo $\alpha$ y entre ambos puede existir un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) $\mu$. La masa $m_{2}$ cuelga verticalmente.

1. Considere en primer lugar el caso $\alpha =0$ (mesa horizontal). Si no hay rozamiento, ¿pueden quedarse en equilibrio las masas? ¿Cuál es su aceleración en ese caso? Si el coeficiente de rozamiento no es nulo, ¿cuál es su mínimo valor para que haya equilibrio? Si el rozamiento es menor que este mínimo, ¿cuáles son las aceleraciones de las masas?
2. Suponiendo $\alpha \neq 0$ pero sin rozamiento, determine la aceleración de las masas. ¿Cuál debe ser la relación entre ellas para que el sistema se quede en equilibrio?
3. Si $\mu \neq 0$ ¿Entre qué valores mínimo y máximo debe estar $m_{2}$ para que las masas queden en equilibrio?
4. Sea $m_{1}=5.00\,\mathrm {kg}$, $\mathrm {tg} (\alpha )=0.75$ y $\mu =0.30$. ¿Cuánto vale la aceleración de las masas si (a) $m_{2}=1.50\,\mathrm {kg}$, (b) $m_{2}=3.00\,\mathrm {kg}$ y (c) $m_{2}=4.50\,\mathrm {kg}$.

Solución

Peralte en una curva

El circuito de Indianápolis posee curvas de 200m de radio peraltadas un ángulo de 9º12'. Si no se considera el rozamiento, ¿con qué rapidez debe ir un coche si no quiere deslizarse ni hacia arriba ni hacia abajo? # El coeficiente de rozamiento lateral de un coche con la pista vale $\mu =1.50$. ¿Cuáles son las velocidades máximas y mínimas que puede adquirir un coche sin derrapar?

Solución

Masa en plano inclinado con fuerza externa

Un cuerpo de 13 N de peso se encuentra sobre la superficie de un plano inclinado de pendiente $\mathrm {tg} (\beta )=5/12$ (figura 7). El coeficiente de rozamiento del cuerpo con el plano vale μ = 0.5. Desde la parte de abajo del cuerpo se le aplica una fuerza de 4 N, tangente al plano y en sentido ascendente. ¿Cuánto vale, en módulo, la fuerza de rozamiento que experimenta el cuerpo?

Solución

Masa empujada contra una pared

Un bloque de masa m se halla en contacto con una pared vertical, siendo μ el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) entre el bloque y la pared. Para mantenerlo en el sitio se le aplica una fuerza de magnitud F_0 formando un ángulo θ con la vertical.

1. Para un ángulo θ cualquiera, calcule:
   1. la fuerza mínima que hay que aplicar para que el bloque no deslice
   2. la fuerza máxima si tampoco se quiere que bloque deslice hacia arriba.
2. Para el caso particular $mg=25.2\,\mathrm {N}$, $\mu =0.75$ y $\mathrm {tg} (\theta )=20/21$, ¿cuáles son los valores mínimo y máximo de $F_{0}$? ¿Cuánto valen en el caso $\mathrm {tg} (\theta )=12/5$?
3. Considerando ahora que se puede variar el ángulo θ, determine el menor valor posible de $F_{0}$ para que se pueda sujetar el bloque.
4. ¿Con qué ángulo hay que aplicar la fuerza en ese caso? Halle este ángulo y esta fuerza mínima para $mg=25.2\,\mathrm {N}$ y $\mu =0.75$.
5. Si se aplica una fuerza apuntando hacia abajo, es decir, con θ>π\/2, ¿es posible mantener la masa inmóvil? Si no es así, ¿por qué? Si sí es posible, ¿para qué fuerzas y ángulos se puede conseguir?

Solución

Caso de péndulo simple

Tenemos un péndulo simple formado por una lenteja de 0.5 kg que cuelga de una varilla rígida de masa despreciable y 1.20 m de longitud.

1. Si se separa la lenteja de la vertical un ángulo de 5° y se suelta desde el reposo, ¿con qué rapidez pasa la masa por el punto más bajo? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a esta posición?
2. ¿Cuánto vale la tensión de la varilla en el momento de soltar la masa? ¿Y en el punto más bajo?
3. Suponga que se ajusta un reloj suponiendo que se usa el péndulo anterior, pero resulta que en realidad la varilla mide 115 cm. El reloj ¿atrasa o adelanta? ¿Cuánto cada día?

Solución

Dos masas en una varilla giratoria

Una varilla de longitud 30cm sin masa está articulada en un punto a 10 cm de un extremo. En el extremo del tramo corto se encuentra una masa $m_{1}=1\,\mathrm {kg}$. En el extremo del largo se encuentra una masa $m_{2}=2\,\mathrm {kg}$. La varilla gira con velocidad angular constante $\omega =10\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$.

1. ¿Cuánto vale la tensión de la varilla en cada uno de los dos tramos?
2. ¿Cuánto vale la fuerza que ejerce el soporte en donde está articulada la varilla?
3. ¿Cómo cambian los resultados de los apartados anteriores si la varilla está articulada en su extremo, la masa de 1kg está a 10cm de éste y la de 2kg a 30cm?

  

Masa suspendida de dos muelles

Se dispone de una masa $m=1\,\mathrm {kg}$ y de resortes de longitud natural 10 cm y constantes $k_{1}=900\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y $k_{2}=1600\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$.

1. Suponga que se cuelga la masa del techo colocando en paralelo los dos resortes. En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la masa al techo?
2. Para este caso, si la masa está en la posición de equilibrio y se le comunica una velocidad de 10 cm/s hacia arriba, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? ¿Y su frecuencia?
3. Suponga ahora que los resortes se conectan en serie, uno a continuación del otro y se suspenden del techo, con la masa en el extremo inferior. ¿Cuánto se estira cada resorte?
4. Si para este segundo caso se le comunica a la masa en el equilibrio una velocidad de 10 cm/s hacia abajo, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones?

Solución

Dos resortes enfrentados

Una partícula de masa $m$ se encuentra situada entre dos resortes de longitudes en reposo $\ell _{10}$ y $\ell _{20}$, que se encuentran atados a paredes opuestas separadas una distancia $D$. Los muelles poseen constantes de recuperación $k_{1}$ y $k_{2}$.

1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿A cuanto tiende esta posición si $k_{1}\to \infty$? ¿Y si $k_{2}\to \infty$?
2. Estando en la posición de equilibrio, se le comunica a la masa una velocidad $v_{0}$. Determine la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones resultantes.
3. Considere el caso particular $m=1.00\,\mathrm {kg}$, $D=50\,\mathrm {cm}$ $k_{1}=64\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$, $l_{10}=16\,\mathrm {cm}$, $k_{2}=36\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y $l_{20}=9\,\mathrm {cm}$. ¿Dónde se encuentra la posición de equilibrio? ¿Cuál será su amplitud y frecuencia si desde la posición de equilibrio se le comunica una velocidad +0.20 m/s?
4. Si para el caso práctico anterior se encuentra la masa en reposo en la posición de equilibrio y en ese momento se corta su atadura con el muelle 2, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia que las oscilaciones que describe a partir de ese momento?

Solución

Amortiguamiento viscoso

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma ${\vec {F}}_{r}=-\gamma {\vec {v}}$. Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa $m$ impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia $x_{0}$ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

Solución

Caída de dos esferas

Dos esferas macizas de acero, una de radio R y la otra de radio 2R se sueltan desde una cierta altura H. Si la fricción debida el aire es una fuerza cuadrática de rozamiento viscoso, ¿cuál llega antes al suelo?

Solución

Fuerza en anilla ensartada en varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Repita el cálculo del problema anterior pero suponiendo que la barra de O se mueve con velocidad doble que la de A, es decir, que el ángulo en O es 2Ωt y el de A, Ωt.

Solución

Dos masas en planos inclinados y un muelle

Dos masas iguales de peso $mg=75\,\mathrm {N}$ situadas sobre dos planos inclinados contiguos, de las dimensiones mostradas en la figura. Las dimensiones son tales que el ángulo en O es recto.

Las masas están unidas por un resorte ideal de longitud natural nula y constante $k=100\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$. No hay rozamiento con las superficies.

1. Determine la posición de equilibrio de las dos masas, hallando los valores de $x$ e $y$.
2. Para esta posición de equilibrio, calcule las fuerzas de reacción ejercidas por los planos, así como la fuerza elástica que el resorte ejerce sobre cada masa.
3. Determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas.

Solución

Partícula suspendida de resorte y barra

Una partícula de peso $P=30\,\mathrm {N}$ se encuentra atada simultáneamente a una barra rígida de longitud $b=80\,\mathrm {cm}$ y a un muelle de longitud natural nula y constante $k=40\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$. Los anclajes de la barra y el resorte distan $D=100\,\mathrm {cm}$.

1. Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿Cuánto vale la tensión de la barra en este momento? ¿Cuál es la longitud del resorte?
2. Suponga que estando en la posición de equilibrio se le comunica a la masa una pequeña rapidez v_0, ¿cuál es el periodo de las oscilaciones que realiza la masa a partir de ese momento?

Solución

Partícula en tubo giratorio

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular Ω constante alrededor del eje OZ.

1. Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer la coordenada polar radial ρ(t) sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
2. Suponga que $\rho (t)=A\,\mathrm {e} ^{\Omega t}$
   1. Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son la posición y la velocidad inicial?
   2. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   3. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración.

Solución

Tres masas en una máquina de Atwood

Se tiene el sistema de tres masas de la figura, cuyos pesos son los indicados.

1. Antes de cortar el hilo inferior, ¿cuál es la tensión del hilo entre las masas de 10 N y 30 N?
2. ¿Cuánto vale la tensión de este mismo hilo una vez que se corta el inferior y las masas comienzan a moverse?

Solución

Máquina de Atwood con resorte

Dos masas A y B, de masas $m_{A}=0.35\,\mathrm {kg}$ y $m_{B}=0.65\,\mathrm {kg}$ están unidas por un hilo ideal (“1”), inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin masa ni rozamiento. La masa A está unida al suelo por un resorte de constante $k=100\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y longitud natural $\ell _{0}=10\,\mathrm {cm}$. La B se mantiene a la misma altura que la primera mediante otro hilo ideal (“2”) de 15 cm de longitud. El sistema está inicialmente en equilibrio. Tómese $g=10\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$.

1. ¿Cuánto vale la tensión de cada hilo?
2. Suponga que se corta el hilo 2.
   1. ¿Cuánto vale la aceleración de cada masa justo tras el corte? ¿Y la tensión del hilo 1?
   2. ¿Cuánto mide la amplitud de las oscilaciones que describen las masas?
   3. ¿Cuál es la frecuencia ω de las oscilaciones que describe el sistema?
3. Cuando el sistema está oscilando, ¿cuánto vale la tensión mínima del hilo? ¿Puede llegar a destensarse?

Solución

Partícula en una superficie cónica

Una partícula de masa m se encuentra obligada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto, de eje vertical y cuyo semiángulo en el vértice mide β. La partícula puede deslizar sin rozamiento sobre esta superficie y está sometido a la acción del peso, que va en la dirección vertical. Se desea que la partícula describa uniformemente circunferencias horizontales a una altura h respecto al vértice. Con ayuda de las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas,

1. ¿Qué rapidez $v_{0}$ debe comunicársele a la partícula, en función de la altura $h$?
2. ¿Cuánto vale, en módulo, la reacción de la superficie cónica en este movimiento?

Solución

Resorte amortiguado con rozamiento seco

Se tiene una masa $m=5.00\,\mathrm {kg}$ atada a un resorte de constante $k=10.0\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y longitud en reposo $\ell _{0}=150\,\mathrm {mm}$. La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento seco μ=0.10. El muelle se comprime una cantidad $b=50\,\mathrm {mm}$ respecto a su posición de equilibrio.

1. Despreciando en primer lugar el rozamiento, determine la máxima distancia de la pared a la que llega la masa.
2. Teniendo en cuenta el rozamiento, ¿cuánto vale la distancia de máximo alejamiento?
3. Al volver a comprimirse el muelle, la masa no retorna a su posición inicial. ¿A qué distancia de la pared se detiene instantáneamente?
4. ¿Al cabo de cuantas oscilaciones se detiene del todo? ¿Dónde se queda parada?

Solución