Enunciado
Una masa de 0.5 kg situada en el extremo de una cuerda de 50 cm de longitud se hace girar horizontalmente con la mano de manera que da 2 vueltas por segundo. ¿Puede estar la cuerda completamente horizontal? Determine la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la horizontal.
Solución
La masa realiza su movimiento circular como consecuencia de la acción de dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}+\vec{F}_T = m\vec{a}}
El peso va en la dirección vertical
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}=-mg\vec{k}}
mientras que la tensión va en la dirección de la cuerda y por tanto tiene una componente radial hacia adentro y otra vertical hacia arriba. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi}
es el ángulo que el hilo forma con la horizontal, la tensión se escribe
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_T = F_T\left(-\cos(\phi)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\phi)\vec{k}\right)}
Por último, la aceleración en un movimiento circular uniforme es puramente radial y hacia adentro, siendo su módulo proporcional al radio de la circunferencia y al cuadrado de la velocidad angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}=-m\omega^2 R\vec{u}_\rho}
aquí Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R}
no es la longitud de la cuerda, sino el radio de la circunferencia. Este se relaciona con la longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
de la cuerda por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = b\cos(\phi)\,}
La velocidad angular la hallamos sabiendo que el enunciado nos da la frecuencia natural (2 vueltas por segundo, esto es 2 Hz).
Sustituyendo todo esto en la ecuación de movimiento queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -mg\vec{k}+F_T\left(-\cos(\phi)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\phi)\vec{k}\right)=-m\omega^2b\cos(\phi)\vec{u}_\rho}
Igualando componente a componente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}-F_T\cos(\phi) & = & -m\omega^2b\cos(\phi) \\ && \\ -mg+F_T\mathrm{sen}(\phi) & = & 0\end{array}\right.}
De la primera de estas dos obtenemos la tensión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_T = m\omega^2 b\,}
y, conocida la tensión, hallamos el ángulo con la horizontal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(\phi) = \frac{mg}{F_T}=\frac{g}{\omega^2b}}
Vemos que el ángulo es independiente de la masa de la bola, y que existe un valor inferior para la velocidad angular, ya que si es demasiado baja implicaría un seno mayor que la unidad, lo que no es posible.
Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos el valor numérico de la velocidad angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = 2\pi f = 4\pi\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}
la tensión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_T = (0.5\,\mathrm{kg})\left(4\pi\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)^2(0.5\,\mathrm{m})=39.5\,\mathrm{N}}
y el ángulo con la horizontal.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(\phi) = \frac{9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}{(4\pi \mathrm{s}^{-1})^2(0.5\,\mathrm{m})} = 0.124\qquad\Rightarrow\qquad \phi = 0.124\,\mathrm{rad}=7.13^\circ}
