Onda estacionaria

Superposición de ondas

Vamos a examinar ahora el caso de que tengamos dos ondas viajeras de la misma frecuencia y amplitud y propagándose en sentidos opuestos:

$y_{1}=A\cos(\omega t-kx)\,$    $y_{2}=A\cos(\omega t+kx)\,$

En este caso no es necesario introducir la constante $\phi \,$ porque, para ondas que van en sentidos opuestos el concepto de desfase no tiene mucho sentido. Se puede incluir esta constante, pero los resultados no se diferencian en lo esencial de lo que se obtiene sin ella.

La superposición de estas dos señales se puede transformar aplicando relaciones trigonométricas

$y=y_{1}+y_{2}=A\cos(\omega t-kx)+A\cos(\omega t+kx)=2A\cos(\omega t)\cos(kx)\,$

Esta es la ecuación de una onda estacionaria, que se puede escribir en la forma

$y=A(x)\cos(\omega t)\,$    $A(x)=2A\cos(kx)\,$

Lo que nos dice esta ecuación es que aunque tenemos la superposición de dos ondas viajeras, la suma es una onda en que todos los puntos oscilan en fase, con una amplitud dependiente de su posición. En los puntos en que resulta una amplitud $A(x)$ negativa, debe entenderse que la amplitud es el valor absoluto de esta cantidad y que los puntos correspondientes están en oposición de fase (esto es, tienen una constante de fase igual a π).

Nodos

La amplitud varía como un coseno, lo cual implica que existen puntos para los cuales la amplitud de oscilación es nula. Estos puntos se denominan nodos. La posición de estos nodos la da la condición

$A(x_{n})=2A\cos(kx_{n})=0\,$ ⇒  $kx_{n}={\frac {\pi }{2}}+n\pi$ ⇒  $\Delta x=x_{n+1}-x_{n}={\frac {\pi }{k}}={\frac {\lambda }{2}}$

La distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda

Vientres

Los puntos en que la amplitud de oscilación es máxima se denominan vientres. Los vientres se encuentran en los puntos medios entre nodos, y por tanto la distancia entre vientres consecutivos es también media longitud de onda, y la distancia de un vientre al nodo más próximo es $\lambda /4$.

Reflexión de ondas

En un extremo fijo

Supongamos una cuerda tensa sujeta por un extremo a un punto fijo, como un clavo en una pared. Esto hace que la elongación de dicho punto sea nula en todo instante

$y(x_{0})=0\qquad \forall t$

esto es, el punto $x=x_{0}$ es un nodo de la onda.

Por ello, no es posible que la solución de la ecuación de ondas en este sistema sea simplemente una onda viajera $y=f(x-vt)$, ya que esta solución se hará diferente de cero en $x_{0}$ en algún momento.

Para poder imponer que la elongación sea nula debemos considerar la superposición de dos ondas, una viajando hacia la derecha y otra hacia la izquierda

$y(x,t)=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{v}}\right)\,$

Por simplicidad, supongamos que $x_{0}=0$. Puesto que en este punto $y=0$ en todo instante, debe cumplirse

$0=y(x=0)=f(t)+g(t)\,$ ⇒  $g(t)=-f(t)\,$

y la solución para el resto de los puntos es

$y(x,t)=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)-f\left(t+{\frac {x}{v}}\right)$

esto es, la señal completa es la superposición de una onda viajera hacia la derecha, más una onda viajera, igual y de signo opuesto, viajando en sentido contrario

El resultado es entonces, la reflexión total de la onda en el punto fijo, siendo la onda reflejada igual y opuesta a la onda incidente.

Físicamente, el mecanismo es el siguiente: cuando la señal llega a la pared, la cuerda tira de la pared en un sentido, y, como consecuencia de la tercera ley de Newton, la pared tira de la cuerda en sentido igual y opuesto. Por tanto, podemos sustituir la pared por una fuerza externa que va en sentido contrario a la elongación. El resultado de la acción de esta fuerza es la onda reflejada, de sentido y signo contrario a la incidente.

Un caso particular importante es aquel en que la onda incidente es una onda sinusoidal, en este caso, la suma de la onda incidente y la reflejada es una onda estacionaria en la que el punto fijo en la pared es un nodo de la onda estacionaria

$y=A\cos(\omega t-kx)-A\cos(\omega t+kx)=2A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {en} \,(kx)$

En un extremo libre

Supongamos ahora una cuerda cuyo extremo está atado a una argolla ideal (sin masa) ensartada en una barra vertical. La argolla puede moverse libremente arriba y abajo, pero impide cualquier movimiento horizontal. Al poder moverse libremente y no tener masa, esto implica que la fuerza vertical sobre la argolla debe ser cero (si no, su aceleración sería infinita), lo que matemáticamente equivale a la condición

$\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|_{x_{0}}=0$

De nuevo, para que se pueda cumplir esta condición, no basta con una sola onda viajera, sino que la solución debe ser una superposición de una onda viajando a la derecha más una viajando hacia la izquierda

$y=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{v}}\right)$

Imponiendo la condición de derivada nula en $x=0$, obtenemos

$\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|_{x=0}=-{\frac {1}{v}}f'(t)+{\frac {1}{v}}g'(t)$

de donde

$g(t)=f(t)\,$

y la elongación en el resto de los puntos es

$y=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)+f\left(t+{\frac {x}{v}}\right)$

En este caso se produce de nuevo una reflexión total, como en el caso del extremo fijo, pero ahora la onda reflejada tiene el mismo signo que la incidente.

Esta reflexión en un extremo libre, aunque un poco artificiosa en el caso de una cuerda, es una aproximación razonable de lo que le ocurre a una onda de sonido al encontrar una abertura al final de un tubo, como ocurre un órgano. En lugar de salir sin impedimento al exterior, se produce una reflexión y solo una pequeña parte de la energía es emitida al exterior.

En el caso de que la onda incidente sea sinusoidal, el resultado de la reflexión en un extremo libre es una onda estacionaria, pero en la cual el extremo es un vientre de la onda estacionaria.

$y=A\cos(\omega t-kx)+A\cos(\omega t+kx)=2A\cos(\omega t)\cos(kx)\,$

Ondas entre dos puntos fijos

Si tenemos una cuerda tensa atada en dos puntos fijos $x_{1}=0$ y $x_{2}=L$ (como una cuerda de piano o de guitarra), en todo momento debe cumplirse

$y(0)=y(L)=0\,$

es decir, la onda debe tener nodos en los dos extremos de la cuerda. Esto impone limitaciones adicionales en las soluciones, pues no toda suma de onda incidente y reflejada cumple que se anula a la vez en dos puntos.

En el caso de una onda sinusoidal, las condiciones anteriores limitan las longitudes de onda posibles. Puesto que la distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda, debe cumplirse que

$L=n\left({\frac {\lambda }{2}}\right)\qquad n=1,2,\ldots$

o, equivalentemente, que las longitudes de onda posibles son

$\lambda ={\frac {2L}{n}}\qquad n=1,2,\ldots$

y por tanto, las soluciones sinusoidales son de la forma

$y_{n}=\,\mathrm {sen} \,\left({\frac {nx}{L}}\right)\,\mathrm {sen} \left(n\omega t\right)\qquad \omega ={\frac {v}{L}}$

donde hemos aplicado que $\omega =kv$ y $k=2\pi /\lambda$.

Para una onda de forma arbitraria, la solución no será tan sencilla. No obstante, el teorema de Fourier establece que toda función continua y derivable con nodos en $x=0$ y $x=L$ puede escribirse como una superposición de estas ondas sinusoidales

$y=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}y_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,\mathrm {sen} \,\left({\frac {nx}{L}}\right)\,\mathrm {sen} \left(n\omega t+\phi _{n}\right)$

En el caso particular del sonido producido por una cuerda vibrante, cada uno de los términos se denomina modo. El de frecuencia más baja se denomina modo fundamental y es el que determina la frecuencia de la nota que suena. Los siguientes términos, de frecuencia $2\omega$, $3\omega$,... se denominan armónicos (siendo el primer armónico el de frecuencia $2\omega$, el 2º el de frecuencia $3\omega$ y así sucesivamente). Los coeficientes $a_{n}$ para $n>1$, que dan la amplitud de los sucesivos armónicos determinan el timbre de la nota y son los que hacen que una nota de guitarra y una de piano suenen diferente, aunque sean de la misma frecuencia. Las constantes $\phi _{n}\,$ dan los desfases entre los diferentes modos.

Ondas entre dos extremos libres

El mismo razonamiento se puede aplicar a una onda entre dos extremos libres. En este caso obtenemos una onda estacionaria, con vientres en los dos extremos. Puesto que la distancia entre vientres consecutivos es también $\lambda /2$, la condición que sobre las posibles longitudes de onda es la misma que para el caso anterior

$L=n{\frac {\lambda }{2}}\qquad n=1,2,\ldots$ ⇒ $\lambda ={\frac {2L}{n}}\qquad n=1,2,...$

Cada uno de los modos posibles tendrá la ecuación

$y_{n}=\cos \left({\frac {nx}{L}}\right)\cos(n\omega t)\qquad \omega ={\frac {v}{L}}$

Una oscilación entre dos extremos libres será una superposición del modo funcamental y de sus armónicos.

$y=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}y_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left({\frac {nx}{L}}\right)\cos(n\omega t+\phi _{n})$

La solución general para el caso de dos extremos libre