Movimiento oscilatorio

Movimiento armónico simple

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Energía del M.A.S.

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• Resorte libre
• Resorte sometido a la acción de la gravedad

Oscilaciones amortiguadas y forzadas

Oscilaciones amortiguadas

Consideremos el sistema formado por una masa $m$ unida a un muelle de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula,y sometida además a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. En este caso, las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza recuperadora del muelle y la fuerza de rozamiento

${\begin{array}{lcr}\mathbf {F} _{k}=-k\mathbf {r} &&\mathbf {F} _{v}=-b\mathbf {v} \end{array}}$

El coeficiente $b$ indica la intensidad de la fuerza del rozamiento. El signo negativo indica que esta fuerza se opone siempre a la velocidad.

Si suponemos que el movimiento se produce en una dimensión, escogiendo el eje $X$ a lo largo de la dirección del movimiento podemos expresar las fuerzas como

${\begin{array}{lcr}F_{k}=-kx&&F_{v}=-b{\dot {x}}\end{array}}$

El movimiento de la masa viene determinado por la Segunda Ley de Newton

$m{\ddot {x}}=F_{k}+F_{v}=-kx-b{\dot {x}}$

Reordenamos los términos de la ecuación y la escribimos

${\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

siendo

${\begin{array}{lccr}\gamma =b/2&&&\omega _{0}^{2}=k/m\end{array}}$

El parámetro $\gamma$ indica la intensidad del rozamiento y $\omega _{0}$ es la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento. Recibe el nombre de frecuencia natural.

Soluciones de la ecuación diferencial

La ecuación que determina el movimiento de la masa es la del oscilador armónico con un término añadido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento al que está sometida la masa. Es una ecuación diferencial de coeficientes constantes. La técnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones de la forma

$x(t)=Ae^{\lambda t}$

La idea es que al derivar esta función el resultado es ella misma multiplicada por el parámetro $\lambda$. Tenemos

${\begin{array}{ccccc}x(t)=Ae^{\lambda t},&&{\dot {x}}(t)=A\lambda e^{\lambda t},&&{\ddot {x}}(t)=A\lambda ^{2}e^{\lambda t}.\end{array}}$

Sustituyendo en la ecuación, podemos eliminar el factor común $Ae^{\lambda t}$, pues es siempre distinto de cero. Con ello obtenemos la ecuación que debe cumplir $\lambda$ para que x(t) sea solución

$\lambda ^{2}+2\gamma \lambda +\omega _{0}^{2}=0\Rightarrow \lambda =-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

Obtenemos dos posibles valores de $\lambda$. La solución general es una combinación lineal de las dos funciones definidas por estos dos posibles valores

$x(t)=A_{+}e^{\lambda _{+}t}+A_{-}e^{\lambda _{-}t}$

Aquí, $\lambda _{+}$ corersponde a la solución con la raíz positiva y $\lambda _{-}$ a la solución con la raíz negativa.

El comportamiento de la solución depende de como es el radicando de la ecuación de segundo grado. Examinemos cada uno de los casos.

Caso subamortiguado

Veamos primero la situación en la que el rozamiento es pequeño. Entonces se cumple

$\omega _{0}^{2}>\gamma ^{2}$

Cuando se cumple esta condición el radicando es negativo, con lo cual la raíz cuadrada es un número imaginario puro. Si definimos $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$, los valores de $\lambda$ quedan

$\lambda _{\pm }(t)=-\gamma \pm j\omega =-\gamma \pm j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$

siendo $j={\sqrt {-1}}$ la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación es de la forma

$x(t)=A_{+}e^{(-\gamma +j\omega )t}+A_{-}e^{(-\gamma -j\omega )t}=e^{-\gamma t}\left(A_{+}e^{j\omega t}+A_{-}e^{-j\omega t}\right)$

Los coeficientes $A_{+}$, $A_{-}$ deben ser tales que $x(t)$ sea real. Recordando que según la fórmula de Euler

$e^{j\alpha }=\cos(\alpha )+j\mathrm {sen} (\alpha )$

vemos que la solución general se puede escribir como

$x(t)=e^{-\gamma t}\left[a_{1}\cos(\omega t)+a_{2}\mathrm {sen} (\omega t)\right]$

Así pues, la solución es el producto de dos factores. Uno de ellos incluye cosenos y senos, por lo que es oscilante. El otro es una exponencial con exponente negativo, por lo que es decreciente. El resultado es una función que oscila con frecuencia angular $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$ y con amplitud decreciente.

Archivo:Oscilacion amortiguada.png

La línea negra en la figura adjunta muestra la evolución en el tiempo de la posición de la masa. La línea azul de trazos indica la evolución de la amplitud de la oscilación. Es intereante señalar que en este caso tenemos dos escalas de tiempo relevantes en el problema. Por una lado, el período de las oscilaciones es

$T={\frac {2\pi }{\omega }}>T_{0}={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$

$T_{0}$ es el periódo correspondiente a la frecuencia propia $\omega _{0}$. Como $\omega <\omega _{0}$, el período de oscialción es algo mayor que $T_{0}$.

Por otro lado tenemos el tiempo típico de decrecimiento de la amplitud. En una función exponencial, se define como el tiempo necesario para que el valor sea $1/e$ veces el inicial. Es decir, en este caso tenemos

$\tau _{\mathrm {sub} }=1/\gamma$

Físicamente, esto significa que despues de un tiempo $t\simeq 5\tau _{\mathrm {sub} }$ el valor de la amplitud es prácticamente cero.

En esta situación de oscilación subamortiguada el rozamiento es pequeño, por lo que tenemos que

$\tau _{\mathrm {sub} }>T$

Es decir, hacen falta varias oscilaciones para que el rozamiento detenga la oscilación de la masa. Esto es claramente visible en la figura.

Caso sobreamortiguado

Consideremos ahora la situación en la que el rozamiento es muy grande

$\omega _{0}^{2}<\gamma ^{2}$

Ahora, el radicando es positivo, por lo que las dos soluciones de la ecuación característica son reales. Si definimos

$p={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

los valores de $\lambda$ son

$\lambda _{\pm }(t)=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}=-\gamma \pm p$

Observermos que, de su definición, $p<\gamma$ , por lo que los dos valores $\lambda _{\pm }$ son negativos. La solución general es

$x(t)=A_{+}e^{(-\gamma +p)t}+A_{-}e^{(-\gamma -p)t}=A_{+}e^{-(\gamma -p)t}+A_{-}e^{-(\gamma +p)t}\,$

Las dos exponenciales tienen exponentes negativos. Por tanto, las oscilaciones decaen en el tiempo. El tiempo típico de decaimiento está controlado por el exponente de valor absoluto más pequeño, pues de las dos funciones es la que tarda más en disminuir su valor. Entonces

$\tau _{\mathrm {sob} }={\frac {1}{\gamma -p}}$

Amortiguamento crítico

Archivo:Oscilaciones amortiguadas todos casos.gif

Ahora tenemos la condición

$\omega _{0}^{2}=\gamma ^{2}$

Cuando ocurre esto, el radicando de la ecuación característica es cero, por lo que existe una única solución de la forma $e^{\lambda t}$. Pero la ecuación diferencial es de segundo orden, por lo que la solución general debe ser una combinación lineal de dos funciones distintas. En este caso, se debe buscar otra solución de la forma $te^{-\gamma t}$, que se puede comprobar que es solución de la ecuación diferencial cuando $\omega _{0}^{2}=\gamma ^{2}$. Entonces, la solución general es

$x(t)=e^{-\gamma t}\left(A_{1}+A_{2}t\right)$

De nuevo es una función decreciente en el tiempo, es decir, la amplitud de las oscilaciones tiende a cero. El tiempo típico asociado al amortiguamiento es

$\tau _{\mathrm {cri} }={\frac {1}{\gamma }}={\frac {1}{\omega _{0}}}={\frac {T_{0}}{2\pi }}$

Archivo:Amor todos casos vel.gif

La figura a la derecha muestra la evolución de la amplitud para valores de los coeficientes correspondientes a los tres casos.

Puede observarse que el amortiguamiento es más efectivo en el regímen crítico, aunque el coeficiente de rozamiento es mayor en el régimen sobreamortiguado. Esto puede entenderse observando la figura que muestra la evolución de la velocidad en cada uno de los casos. Cuando el amortiguamiento es crítico, el módulo de la velocidad mayor la mayor parte del tiempo. Como el rozamiento es proporcional a la velocidad, es más efectivo cuando el módulo de la velocidad es mayor. Los sistemas que funcionan como amortiguadores se ajustan para que trabajen en este régimen crítico.

Oscilaciones forzadas

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Consideremos el mismo sistema, la masa $m$ conectada a un muelle de constante $k$ y sometida a un rozamiento proporcional a la velocidad. Pero ahora añadimos la acción de una fuerza externa que oscila con un frecuencia angular $\omega$, de la forma

$F(t)=F_{0}\cos(\omega t)$

La ecuación que describe el movimiento de la masa es, como en el apartado anterior de oscilaciones amortiguadas, la Segunda Ley de Newton. Lo único que cambia es que hay que tener en cuenta la fuerza externa. La ecuación diferencial que determnina la evolución en el tiempo de la posición de la masa es

${\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\cos(\omega t)$

Recordemos la definición de los coeficientes

${\begin{array}{lcr}\gamma =b/2m,&&\omega _{0}={\sqrt {k/m}}\end{array}}$

siendo $b$ el coeficiente de rozamiento. Esta ecuación es similar a la que hemos visto en el apartado anterior, con el término de la fuerza externa añadido. Su solución general es una combinación de las soluciones que hemos considerado en el oscilador amortiguado más una solución de la ecuación incluyendo la fuerza.

Sin embargo, hemos visto que las soluciones de la ecuación del oscilador amortiguado decaen en el tiempo. La solución que incluye la fuerza externa se mantiene mientras la fuerza siga actuando. Así pues, vamos a olvidarnos de las soluciones transitorias y vamos a buscar una función que cumpla la ecuación completa incluyendo la fuerza.

Fasores

La solución que buscamos debe seguir a la fuerza, así pues es razonable pensar que debe oscilar con la misma frecuencia $\omega$ que ella. La técnica de fasores permite encontrar esta solución de un modo sencillo.

Utilizando la fórmula de Euler podemos expresar la fuerza externa como la parte real de un número complejo

$F_{0}\cos(\omega t)=Re\left(F_{0}e^{j\omega t}\right)$

La idea clave de esta técnica es que la dependencia con el tiempo queda recogida en el número $e^{j\omega t}$, que se llama fasor. Aplicando la misma idea a la solución buscada $x(t)$, podemos escribir

$x(t)=Re\left({\tilde {x}}e^{j\omega t}\right)$

El número ${\tilde {x}}$ puede ser complejo, pero no depende del tiempo. La ventaja de hacer esto es que al derivar respecto del tiempo solo se ve afectado el fasor.

El efecto de derivar respecto del tiempo es bajar un factor $j\omega$. Tenemos

${\begin{array}{lcccr}x(t)=Re\left({\tilde {x}}e^{j\omega t}\right),&&{\dot {x}}(t)=Re\left(j\omega {\tilde {x}}e^{j\omega t}\right),&&{\ddot {x}}(t)=Re\left(-\omega ^{2}{\tilde {x}}e^{j\omega t}\right)\end{array}}$

Ahora, escribimos la ecuación diferencial con las expresiones complejas. Observemos que todos los términos quedan multiplicados por $e^{j\omega t}$. Como esta exponecial es siempre distinta de cero, podemos eliminarla de la ecuación. Ésta queda

$-\omega ^{2}{\tilde {x}}+2\gamma \omega {\tilde {x}}j+\omega _{0}^{2}{\tilde {x}}=F_{0}/m$

De este modo la ecuación diferencial se convierte en una ecuación algebraica en la que podemos despejar ${\tilde {x}}$

${\tilde {x}}={\frac {F_{0}/m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\gamma \omega j}}$

Este es un número complejo, y como tal, puede escribirse en el formato módulo-fase o parte real- parte imaginaria

${\tilde {x}}=Ae^{j\phi }=a+bj$

Para determinar $a$ y $b$ multiplicamos el numerador y denominador de ${\tilde {x}}$ por el complejo conjugado del denominador. Obtenemos

${\tilde {x}}={\frac {F_{0}/m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\gamma \omega j}}\times {\frac {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-2\gamma \omega j}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-2\gamma \omega j}}={\frac {F_{0}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})/m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega ^{2}}}-{\frac {2F_{0}\gamma \omega /m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega ^{2}}}j$

El módulo de ${\tilde {x}}$ es

$A={\sqrt {{\tilde {x}}{\tilde {x}}^{*}}}={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega ^{2}}}}$

Y su fase

$\phi =\mathrm {atan} \left({\frac {b}{a}}\right)=\mathrm {atan} \left(-{\frac {2\gamma \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$

Ahora bien, hay que recordar que lo que tiene sentido físico es $x(t)$, no ${\tilde {x}}$. Para obtener $x(t)$ hay que calcular la expresión

$x(t)=Re\left({\tilde {x}}e^{j\omega t}\right)=Re\left(Ae^{j\phi }e^{j\omega t}\right)=Re\left(Ae^{j(\omega t+\phi )}\right)=A\cos(\omega t+\phi )$

Es decir, hemos obtenido una solución que oscila con frecuencia angular $\omega$ y tiene una amplitud $A$ y una fase $\phi$ que dependen de $\omega$. Puede comprobarse que esta función es solución de la ecuación diferencial derivando y sustituyendo en la ecuación. La amplitud de esta oscilación no decrece con el tiempo, como ocurría en el muelle con amortiguamiento, a pesar de la presencia del término que se opone al movimiento. La razón es que la fuerza externa suministra en cada período la energía que pierde el sistema debido al rozamiento.

Análisis de la solución

Es interesante estudiar como depende la amplitud con la frecuencia de la fuerza externa. La grafica de la derecha representa $A(\omega )$ para diferentes valores del coeficiente de rozamiento $\gamma$. Cuanto menor es el rozamiento, menor es la amplitud en general. Pero lo más significativo es ver como varía la amplitud con la frecuencia para un mismo valor de $\gamma$. Cuando $\omega \ll \omega _{0}$ la amplitud es la misma para todos los valores del rozamiento. Cuando $\omega \gg \omega _{0}$, la amplitud tiende a cero también para todos los rozamientos. Sin embargo, para rozamientos menores, la amplitud tiene un máximo. La posición de este máximo es más cercana a la frecuencia propia $\omega _{0}$ cuanto menor es $\gamma$. Y también, cuanto menor es el rozamiento mayor es el valor del máximo. De hecho, para $\gamma =0$ el máximo se sitúa exactamente en $\omega =\omega _{0}$ y la amplitud se hace infinita.

Archivo:Forzado amplitud wiki.gif

Para visualizar que significa esta gráfica, imaginemos que la fuerza externa la ejerce una persona sujetando el muelle y moviendo la mano arriba y abajo con una frecuencia $\omega$. El caso de $\omega <<\omega _{0}$ se corresponde con un movimiento muy lento de la mano. En esa situación, la masa sigue exactamente a la mano, y la amplitud de las oscilaciones de la masa coinciden con las de la mano. De hecho, en este límite el muelle se comporta como una barra rígida $(k\to \infty \Rightarrow \omega _{0}\to \infty )$. En el límite contrario, $\omega \gg \omega _{0}$, la amplitud tiende a cero. En nuestro ejemplo del muelle esto correspondería a mover la mano muy rápido arriba y abajo. Si se hace la experiencia, puede verificarse que la masa apenas oscila respecto a su posición de equilibrio. Si ahora se mueve la mano con una frecuencia próxima a $\omega _{0}$, se observa que la amplitud de oscilación de la masa crece, hasta tal punto que, si el rozamiento es débil, podemos llegar a golpearnos la mano con la masa.

Este fenómeno según el cual la amplitud de oscilación se hace muy grande cuando la fuerza externa oscila con una frecuencia cercana a la frecuencia propia del sistema se conoce como resonancia. El ejemplo del muelle es una resonancia mecánica. En la resonancia las escalas de tiempo asociadas a la fuerza externa ($T=2\pi /\omega$) y al sistema ($T_{0}=2\pi /\omega _{0}$) son similares. Cuando ocurre esto se maximiza la eficiencia del trasvase de energía del término forzador al muelle. Es lo que aprenden los niños cuando empujan a un amigo en un columpio. Para alcanzar una amplitud mayor lo más eficaz es empujar el columpio cada vez que este llega a su punto más alto.

Archivo:Forzado fase wiki.gif

La imagen de la derecha muestra la evolución del desfase $\phi$ entre la fuerza externa y la oscilación de la masa. En el límite $\omega \ll \omega _{0}$ este desfase tiende a cero. Volviendo a nuestro muelle con la mano, cuando se comporta como un barra rígida la masa sigue exactamente a la mano en su movimiento. Cuando la mano está en su punto más bajo también lo está la masa y viceversa. Al acercarnos a la resonancia, este desfase aumenta, y cuando $\omega =\omega _{0}$ tiende a $-\pi /2$. Esto significa que cuando la mano por el punto medio de su movimiento la masa está alternativamente en el punto más alto y en el más bajo de su oscilación de su oscilación. Si nos acercamos a $\omega _{0}$ desde el lado en que $\omega >\omega _{0}$, el desfase tiende a $\pi /2$, pero el comportamiento es similar. Se observa que cuanto menor es el rozamiento más abrupto es el cambio en el desfase al acercarse al punto $\omega =\omega _{0}$.

Problemas

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