Introducción
El movimiento armónico simple (o, abreviadamente, M.A.S.) es el descrito por una partícula que se mueve a lo largo de una recta verificando la ley de Hooke
Por tratarse de un movimiento rectilíneo, puede reducirse el movimiento a una sola componente
de forma que la ecuación de movimiento se reduce a
La solución de esta ecuación diferencial, con las condiciones iniciales
es la forma general de un movimiento armónico simple.
Combinación de funciones trigonométricas
Para resolver la ecuación de movimiento de un oscilador armónico, empleando técnicas elementales, observamos que trata de hallar una función cuya segunda derivada sea proporcional a la propia función. Es fácil encontrar dos funciones que cumplen esta condición
Por simple sustitución comprobamos que se cumple
Ninguna de estas dos soluciones particulares puede ser la solución general, ya que no cumplen las condiciones iniciales del movimiento. Sin embargo, una combinación lineal de ellas sí lo es. Multiplicando cada una por una constante y sumando, tenemos que
El valor de estas dos constantes, y lo dan las condiciones iniciales. Al resultar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución queda completamente determinada. Por tanto, la forma general del movimiento armónico simple es
Derivando esta ecuación obtenemos la velocidad instantánea
Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos y . De la posición inicial
y de la velocidad inicial
con lo que la solución general, en función de la posición y la velocidad inicial es
En función de la amplitud y la fase
Una forma alternativa de escribir la solución general del movimiento armónico simple es
donde y son dos constantes que se pueden obtener a partir de las condiciones iniciales. Estas dos constantes, dada su importancia, poseen nombre propio:
- es la amplitud.
- es la constante de fase (siendo la fase del movimiento)
Relación con la combinación lineal
Es sencillo demostrar la equivalencia entre las dos expresiones de la solución general. Aplicando la expresión del coseno de una suma
obtenemos
que es idéntica a la expresión dada en la sección anterior
si se verifica la relación entre las constantes
La relación inversa a ésta nos permite hallar la amplitud y la constante de fase en función de las condiciones iniciales
Gráficamente, podemos representar un vector en dos dimensiones, cuyas componentes cartesianas son las constantes y
Este vector tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones, y el ángulo que forma con el eje X es la constante de fase
Parámetros del movimiento
El M.A.S. se caracteriza por tanto, por una serie de magnitudes físicas, que son las siguientes:
- Elongación
- Es la propia variable , esto es, la separación instantánea de la partícula oscilante respecto a su posición de equilibrio. En el SI se mide en metros.
- Frecuencia angular
- da la proporcionalidad entre el tiempo y la fase. En el SI se mide en rad/s o simplemente s−1.
- Periodo
- es el tiempo necesario para que el oscilador vuelva a la misma posición y velocidad. Se mide en segundos en el SI.
- Frecuencia natural
- la inversa del periodo, indica cuantas oscilaciones se producen en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o ciclos/s. Es proporcional a la frecuencia angular, .
- Amplitud
- es la elongación máxima, esto es, la máxima separación del oscilador respecto a la posición de equilibrio. Puede obtenerse a partir de la posición y velocidad iniciales. Se mide en metros.
- Fase
- indica el punto del ciclo en el que se encuentra la partícula, variando desde 0 a radianes.
- Constante de fase (o desfase)
- indica la diferencia en fase entre la oscilación real y una de referencia que fuera de la forma . Puede obtenerse a partir de la posición y velocidad iniciales. Se mide en radianes.
- Fasor
- es una constante compleja, función de la posición y velocidad iniciales, que una vez multiplicada por y hallada su parte real, da la elongación de la partícula. Se mide en metros.
Posición, velocidad y aceleración en un MAS
Amplitud compleja (fasor)
Existe otra forma alternativa de expresar el movimiento armónico simple, mediante el uso de amplitudes complejas o fasores. Partiendo de la fórmula de Euler se tiene
Aplicando esto a la solución del MAS obtenemos la relación
donde
es el fasor de . Es una cantidad compleja constante cuyo módulo es la amplitud de las oscilaciones y cuyo argumento es la constante de fase. El producto es un vector rotatorio en el plano complejo cuya parte real nos da la posición instantánea de la partícula.
En términos de las condiciones iniciales, la amplitud compleja es
La velocidad y la aceleración admiten expresiones fasoriales análogas
siendo sus fasores
Multiplicando cada una de estas amplitudes complejas por y hallando su parte real obtenemos la velocidad y la aceleración instantáneas como función del tiempo.