Energía potencial

Fuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

$W_{A\to B}=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!C_{1}\ A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!C_{2}\ A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

donde la integral se calcula por un camino arbitrario. Eso sí, alguno hay que elegir, sea el que sea.

Energía potencial

La independencia del camino permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo $\mathbf {r} _{0}$ (el origen de potencial) hasta el punto que deseemos:

$U(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

• La independencia del camino es necesaria para que podamos decir que la energía potencial como función solamente del punto $\mathbf {r}$. Si la integral dependiera del camino, para un mismo punto obtendríamos diferentes valores, según por donde hubiéramos llegado a él.

• El origen de potencial $\mathbf {r} _{0}$ es aquel punto para el cual la energía potencial es cero. Dependiendo de cada problema pueden elegirse orígenes de potencial diferentes para la misma fuerza, pero una vez elegido, debe mantenerse siempre el mismo para que los cálculos sean correctos.

• Si dada una fuerza conservativa, calculamos dos energías potenciales diferentes, tomando dos orígenes de potencial distintos, la diferencia entre ellas es una constante (en el sentido de que no resulta una función de la posición $\mathbf {r}$)

$U_{1}(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$    $U_{2}(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {r} _{2}}^{\mathbf {r} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$ ⇒ $U_{2}(\mathbf {r} )-U_{1}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {cte}$

• De su definición como un trabajo resulta que la energía potencial se mide en julios (J) en el SI.

Ejemplos

Peso

Tomando como origen la superficie terrestre (o, en general, una altura de referencia) la energía potencial debida a una fuerza constante, como el peso la calculamos a partir del trabajo elemental

$\mathbf {F} =-mg\mathbf {k}$    $\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} x\mathbf {i} +\mathrm {d} y\mathbf {j} +\mathrm {d} z\mathbf {k}$    $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-mg\,\mathrm {d} z$

Integrando esta cantidad

$U(\mathbf {r} )=-\int _{0}^{z}(-mg\,\mathrm {d} z)=mgz\,$

La energía potencial es proporcional a la altura. Si el punto donde hallamos esta energía está sobre el nivel de referencia, su energía potencial será positiva. Si esta por debajo, su energía potencial será negativa.

Ley de Hooke

En una dimensión

Supongamos un oscilador armónico en el cual una partícula sujeta a un muelle está obligada a moverse a lo largo de una recta. Si medimos la elongación desde la posición de equilibrio, la ley de Hooke queda

$\mathbf {F} =-kx\mathbf {i}$

y el trabajo elemental

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} x\mathbf {i}$    $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-kx\,\mathrm {d} x$

Integrando desde la posición de equilibrio, que tomamos como origen de potencial

$U(x)=-\int _{0}^{x}(-kx)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}kx^{2}$

Si esta misma energía la expresamos en función de la longitud total del resorte

$x=l-l_{0}\qquad \Rightarrow \qquad U(l)={\frac {1}{2}}k(l-l_{0})^{2}$

Esta segunda expresión sigue teniendo como origen de potencial la posición de equilibrio.

Una expresión alternativa la podríamos obtener a partir de la expresión de la ley de Hooke incluyendo la longitud natural

$\mathbf {F} =-k(l-l_{0})\mathbf {i}$

e integrando desde el punto de anclaje ($l=0$), resultando la energía potencial

$U'(l)=-\int _{0}^{l}(-k(l-l_{0}))\mathrm {d} l={\frac {1}{2}}kl^{2}-kll_{0}$

Esta expresión tiene como origen de potencial el punto de anclaje. Se diferencia de la anterior en una constante

$U(l)-U'(l)={\frac {1}{2}}k(l-l_{0})^{2}-\left({\frac {1}{2}}kl^{2}-kll_{0}\right)={\frac {1}{2}}kl_{0}^{2}$

Por este tipo de detalles es muy importante indicar explícitamente el origen de potencial.

En tres dimensiones

La expresión anterior se generaliza fácilmente al caso de un oscilador armónico tridimensional. El trabajo elemental es ahora

$\mathbf {F} =-k\mathbf {r} =-kx\mathbf {i} -ky\mathbf {j} -kz\mathbf {k}$    $\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} x\mathbf {i} +\mathrm {d} y\mathbf {j} +\mathrm {d} z\mathbf {k}$ ⇒ $\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-kx\,\mathrm {d} x-ky\,\mathrm {d} y-kz\,\mathrm {d} z$

Integrando desde la posición de equilibrio $\mathbf {r} =\mathbf {0}$

$U(\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {0} }^{\mathbf {r} }(kx\,\mathrm {d} x+ky\,\mathrm {d} y+kz\,\mathrm {d} z)={\frac {1}{2}}k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$

o, en términos del módulo del vector de posición

$U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}k|\mathbf {r} |^{2}\,$

Fuerza gravitatoria

La fuerza gravitatoria debida a un cuerpo masivo que actúa sobre uno ligero (como el Sol sobre la Tierra, o ésta sobre un satélite) se puede aproximar por

$\mathbf {F} =-{\frac {GMm\mathbf {u} _{r}}{r^{2}}}$

Esta fuerza es conservativa, por lo que puede calcularse su energía potencial. Tomando como origen de potencial el infinito e integrando a lo largo de una recta radial

$U(\mathbf {r} )=GMm\int _{\infty }^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=-{\frac {GMm}{|\mathbf {r} |}}$

Esta energía potencial no se reduce a la expresión anterior para el peso cuando $r$ es muy próximo al radio terrestre, ya que el origen de potencial es diferente (en un caso la superficie terrestre, en el otro el infinito).

Para poder comparar ambas energías potenciales, debemos tomar el mismo origen. Si en la energía potencial gravitatoria que acabamos de calcular tomamos como origen de potencial la superficie terrestre, la energía potencial cambia en una constante, tal que debe hacerse 0 para $r=R_{T}$. Esto da

$U(\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{|\mathbf {r} |}}+{\frac {GMm}{R_{T}}}$

Para ver que sí se reduce a la expresión correspondiente para el peso, suponemos que

$r=R_{T}+z\qquad \qquad z\ll R_{T}$

de forma que

$U(\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{R_{T}+z}}+{\frac {GMm}{R_{T}}}={\frac {GMmz}{R_{T}(R_{T}+z)}}$

Puesto que la altura es muy pequeña comparada con el radio terrestre, podemos despreciarla en el numerador y aproximar esto por

$U(\mathrm {r} )\simeq {\frac {GMmz}{R_{T}^{2}}}=mgz$

donde

$g={\frac {GM}{R_{T}^{2}}}$

es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

Cálculo de la fuerza a partir del potencial

Conocida la energía potencial, puede hallarse la fuerza calculando su gradiente:

$\mathbf {F} =-\nabla U=-{\frac {\partial U}{\partial x}}\mathbf {i} -{\frac {\partial U}{\partial y}}\mathbf {j} -{\frac {\partial U}{\partial z}}\mathbf {k}$

que en el caso de una función dependiente de una sola coordenada se reduce a una derivada ordinaria.

Como comprobación podemos aplicar esta fórmula a dos casos sencillos:

• En el caso del peso tenemos

$U=mgz\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {F} =-mg\left(\overbrace {\frac {\partial z}{\partial x}} ^{=0}\mathbf {i} +\overbrace {\frac {\partial z}{\partial y}} ^{=0}\mathbf {i} +\overbrace {\frac {\partial z}{\partial z}} ^{=1}\mathbf {i} \right)=-mg\mathbf {k}$

• En el caso del oscilador armónico tridimensional

$U={\frac {k}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ⇒ $\mathbf {F} =-{\frac {k}{2}}\left(\overbrace {{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{=2x}\mathbf {i} +\overbrace {{\frac {\partial }{\partial y}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{=2y}\mathbf {j} +\overbrace {{\frac {\partial }{\partial z}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})} ^{=2z}\mathbf {k} \right)=-k(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )=-k\mathbf {r}$

Comprobamos que efectivamente resultan las fuerzas que conocemos.

Trabajo y energía potencial

Para el caso de fuerzas conservativas puede enunciarse un teorema complementario al teorema de las fuerzas vivas.

Tenemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa en un desplazamiento de una partícula entre un punto $\mathbf {r} _{1}$ y uno $\mathbf {r} _{2}$ es

$W_{1\to 2}=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

Puesto que el camino para ir de un punto a otro es arbitrario, podemos tomar uno que pase por $\mathbf {r} _{0}$, el origen de potencial. De esta forma, podemos expresar el trabajo como diferencia entre dos energías potenciales

$W_{1\to 2}=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{0}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\left(-\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} _{1}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)-\left(-\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=U(\mathbf {r} _{1})-U(\mathbf {r} _{2})$

esto es:

“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al decremento de su energía potencial.”

$W_{1\to 2}=U(\mathbf {r} _{1})-U(\mathbf {r} _{2})=-\Delta U$

En forma diferencial tenemos, para la variación en el tiempo de la energía potencial

$\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ={\frac {\delta W}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}$

esto es, la derivada de la energía potencial es igual a la potencia desarrollada por las fuerzas conservativas, cambiada de signo

${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

Combinando la relación entre trabajo y energía potencial con el teorema de las fuerzas vivas se llega al teorema de conservación de la energía mecánica.