Teorema de las fuerzas vivas

Trabajo y potencia

Se define el trabajo elemental realizado por una fuerza $\mathbf {F}$ sobre una partícula que realiza un desplazamiento diferencial $\mathrm {d} \mathbf {r}$ como la cantidad escalar

$\delta W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

A partir de aquí obtenemos el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

$W_{A\to B}=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}\delta W=\int _{\!\!\!\!\!\!\!\!\!C\ A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

Igualmente, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo $\mathrm {d} t$, dividido por dicho intervalo

$P={\frac {\delta W}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

Teorema de la fuerzas vivas

Aplicando la segunda ley de Newton la potencia desarrollada por una fuerza puede escribirse como la derivada respecto al tiempo de la energía cinética

$P=\mathrm {m} \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)={\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}$

siendo K la energía cinética de la partícula

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

(donde $v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$ es el módulo de la velocidad, o celeridad, al cuadrado).

Integrando respecto al tiempo obtenemos el teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética):

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}P\,\mathrm {d} t=\Delta K=K_{B}-K_{A}$

En palabras:

“El trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos equivale al incremento de la energía cinética de dicha partícula.”

El trabajo realizado no tiene por qué ser necesariamente positivo. Si la partícula se ve frenada, su energía cinética disminuye y el trabajo resultante es negativo.

Este teorema implica, entre otras resultados, que una partícula sometida a una fuerza puramente normal en todo momento (como es la fuerza magnética $\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$) mantiene constante su energía cinética y por tanto se mueve de manera uniforme (aunque la dirección de movimiento sea cambiante).

Ejemplos

Trabajo realizado por el peso

Caída vertical

Supongamos una partícula que cae verticalmente por acción de la gravedad desde una altura $h$ hasta el suelo. Se trata de averiguar con que velocidad impacta con el suelo si inicialmente estaba en reposo. Una posibilidad es, por supuesto, emplear la solución del problema como función del tiempo, pero no es necesario.

El trabajo realizado por el peso es la integral

$W_{h\to 0}=\int _{h}^{0}(-mg\mathbf {k} )\cdot (\mathrm {d} z\,\mathbf {k} )=-\int _{h}^{0}mg\,\mathrm {d} z=mgh$

Este trabajo es igual al incremento de energía cinética. Puesto que la energía cinética inicial es nula, este valor es igual a la energía final

$\Delta K={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-\overbrace {{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}} ^{=0}=mgh\qquad \Rightarrow \qquad v_{f}={\sqrt {2gh}}$

Descenso por un plano inclinado

Supongamos ahora que la misma masa se deja caer desde el extremo superior A de un plano inclinado de altura $h$ y ángulo $\alpha$ con la horizontal. Se trata de nuevo de hallar la velocidad con la que llega a B, el punto inferior del plano.

Ahora la partícula está sometida a dos fuerzas: su peso y la reacción del plano, por lo que

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}(m\mathbf {g} +\mathbf {N} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

Pero $\mathbf {N}$, que es la reacción vincular de un vínculo liso es siempre perpendicular al desplazamiento, y por tanto no realiza trabajo. Por ello, sólo debemos considerar el trabajo realizado por el peso y éste es de nuevo

$W_{A\to B}=\int _{A}^{B}(-mg\mathbf {k} )\cdot (\mathrm {d} x\,\mathbf {i} +\mathrm {d} y\,\mathbf {j} +\mathrm {d} z\,\mathbf {k} )=-\int _{h}^{0}mg\,\mathrm {d} z=mgh$

Con lo cual resulta que la velocidad con la que llega al punto más bajo es la misma que en el caso de la caída vertical, pese a que ahora recorre una distancia más larga (pero con una aceleración menor).

Del mismo modo, podemos suponer una partícula que desciende por una curva o superficie complicada. De nuevo, si no hay rozamiento, la velocidad con la que llega al punto más bajo es independiente de la forma de la curva, y solo depende de la diferencia de alturas entre el punto inicial y el final.