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Electrostática en presencia de conductores (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Equilibrio electrostático

La propiedad básica de los materiales conductores en electrostática es el estado de equilibrio electrostático. Este estado es aquel en que las cargas del conductor no se mueven, aunque podrían hacerlo. Si no se mueven es porque se encuentran en equilibrio y la fuerza sobre cada una de ellas es nula.

El proceso por el cual un conductor llega al equilibrio electrostático es el siguiente:

Cuando se tiene un material conductor, como puede ser una disolución salina o un metal, y se aplica un campo eléctrico externo, aparece una fuerza sobre las cargas positivas en un sentido y sobre las cargas negativas en el opuesto.

\vec{F}=q\vec{E}_\mathrm{aplicado}

Dado que lo que caracteriza a un material conductor es que permite el movimiento de cargas por su interior, el resultado es una separación entre las cargas, las positivas a un lado y las negativas a otro.

Ahora bien, en el momento en que las cargas se separan y surgen densidades de carga opuestas, aparece un campo eléctrico adicional debido a las propias cargas del conductor, de forma que ahora la fuerza sobre cada carga del material es

\vec{F}=q(\vec{E}_\mathrm{aplicado}+\vec{E}_\mathrm{propio})

Este campo propio va en sentido opuesto al aplicado, por lo que la fuerza se reduce.

El proceso de separación de carga se detiene cuando el campo propio anula completamente al campo aplicado.

\vec{E}=\vec{E}_\mathrm{aplicado}+\vec{E}_\mathrm{propio}=\vec{0}

A partir de ese momento ya no hay más separación de carga y el sistema se queda en ese estado. Se ha alcanzado el equilibrio electrostático.

Si ahora se modifican las condiciones exteriores (cambiando el campo aplicado) se produce una nueva redistribución de la carga hasta que se llegue a un nuevo estado de equilibrio, en el que las cargas estarán en una posición diferente. El periodo durante el cual las cargas se están moviendo entre equilibrio y equilibrio, se denomina el periodo transitorio y suele ser muy corto en la mayoría de los materiales (microsegundos o menos).

Hay que destacar que la separación de cargas nunca llega, ni de lejos, a mover todas las cargas del material hasta llegar a agotarlas. Dada la intensidad del campo eléctrico de una carga puntual, basta que una pequeñísima fracción de las cargas disponibles se separe para que lleguen a anular el campo aplicado.

En el equilibrio electrostático, las cargas están en reposo y por tanto las expresiones dadas en el tema de electrostática en el vacío siguen siendo válidas. Sin embargo, dado que las cargas de un conductor se redistribuyen continuamente a medida que cambian las condiciones externas, la densidad de carga es desconocida. Puesto que las expresiones que conocemos para el campo y el potencial presuponen que conocemos cómo se distribuyen, nos preguntamos entonces cómo podemos hallar el campo o el potencial eléctrico. Este es el denominado problema del potencial que veremos más adelante.

2 Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático

Un conductor en equilibrio electrostático se caracteriza porque en él las cargas se encuentran en reposo, aunque tendrían la posibilidad de moverse. Esto implica una larga serie de propiedades:

El campo eléctrico en el material conductor es nulo
Si no fuera así, habría fuerza sobre las cargas y estas se moverían.
\vec{E}=\vec{0}
El potencial eléctrico en todos los puntos del conductor tiene el mismo valor
Basta tomar dos puntos A y B del conductor e integrar a lo largo de un camino que vaya íntegramente por el conductor
V_A-V_B=\int_A^B\overbrace{\vec{E}}^{=\vec{0}}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=0
La superficie del conductor es una superficie equipotencial
Es un caso particular de la propiedad anterior.
No puede haber líneas de campo que salgan del conductor y acaben en él
El campo eléctrico siempre va de mayor a menor potencial. Si hubiera una línea que parte de un conductor y acaba en sí mismo, querría decir que un punto de la superficie está a un potencial superior a otro. Pero esto no es posible, ya que la superficie es equipotencial. Por tanto, no puede existir tal línea de campo. Esto es cierto tanto si consideramos una línea directa, como una que pasa antes por otro sitio (por ejemplo, no puede haber una línea que vaya del conductor 1 al 2 y simultáneamente otra del 2 al 1).
La densidad volumétrica de carga es nula
Consideremos una superficie cerrada S cuyo volumen interior se encuentra totalmente en el material. Al aplicar la ley de Gauss
Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint_S\overbrace{\vec{E}}^{=\vec{0}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0
y puesto que esto es cierto para cualquier superficie cerrada de este tipo, la conclusión es que no puede haber densidad de carga de volumen
ρ = 0
Esto no quiere decir que un conductor no pueda estar cargado, solo que esta carga no está repartida por el volumen.
Toda la carga del conductor está en su superficie
Ya que no puede haber una densidad volumétrica, toda carga que haya estará en la superficie (técnicamente, en una fina capa de varios nanómetros de espesor). Esto es así incluso en un conductor que tenga carga nula, ya que al decir que un conductor está descargado nos referimos siempre a la carga total. Puesto que un conductor está formado por billones de cargas positivas y negativas, es posible (de hecho, lo habitual) que haya una densidad de carga positiva en una parte de la superficie y negativa en otra. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, si sobre un conductor descargado aplicamos un campo externo.
El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie
El campo eléctrico se anula dentro del conductor, pero no fuera de él. El campo exterior es una superposición del aplicado y del debido a las cargas del propio conductor (que también producen campo en el exterior). Puesto que la superficie del conductor es equipotencial, el campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie (ya que siempre es ortogonal a las equipotenciales).
El módulo del campo exterior es proporcional a la densidad de carga superficial
Siempre que tenemos una densidad de carga superficial (como en los ejemplos del disco, el plano o los planos cargados o la superficie esférica cargada) se produce un salto en el campo eléctrico, que depende de cuánta carga haya en la superficie. El salto es igual en todos los casos a \sigma_s/\varepsilon_0. Teniendo en cuenta que en el interior del material el campo es nulo y que por la propiedad anterior el campo es perpendicular a la superficie, queda la expresión para el campo exterior
\vec{E}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{n}
Este campo va hacia afuera del conductor donde la densidad de carga es positiva y hacia adentro donde es negativa (ya que \vec{n} es siempre la normal hacia el exterior).
Esta última propiedad parece sugerir que no se cumple el principio de superposición, ya que si ahora a cercamos una carga puntual, ¿no sería el campo (\sigma_s/\varepsilon_0)\vec{n}+\vec{E}_q es decir, la suma del que ya había más el de la carga? No, sigue siendo igual a (\sigma_s/\varepsilon_0)\vec{n}. Lo que ocurre es que si acercamos una carga, las cargas del conductor se redistribuyen y σs cambia. Es decir, esta ecuación relaciona el campo en la superficie con la densidad superficial de carga, pero no nos dice cuanto vale cada una de las cantidades. La densidad de carga en un conductor también es una incógnita del problema.

3 Problema del potencial

Si las densidades de carga en los conductores son variables y desconocidas, ¿cómo puede hallarse el campo eléctrico que producen?

3.1 Planteamiento del problema

La forma de hacerlo es resolviendo el llamado problema del potencial, cuyo planteamiento sería aproximadamente el siguiente: tenemos un conjunto de conductores de forma arbitraria, entre los cuales se encuentra el vacío (en el cual puede haber una densidad conocida de carga, ρ); cada uno de los conductores se encuentra a un voltaje fijado por respectivas fuentes de tensión. Se trata de hallar la distribución de potencial eléctrico entre los conductores.

De hecho, puede hallarse el potencial en todos los puntos del espacio, pero en los propios conductores es trivial (el potencial en cada uno vale el potencial fijado por cada fuente), por lo que el problema se reduce a hallar el potencial entre los conductores.

Matemáticamente este es un problema de ecuaciones diferenciales, consistente en resolver la llamada ecuación de Poisson

\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

con la condición de que el potencial en la superficie de cada conductor es conocido.

V = V_i\qquad (\vec{r} \in S_i)

y, si el sistema es ilimitado, de que el potencial se anula en el infinito

V \to 0 \qquad (|\vec{r}|\to\infty)

En esta introducción no veremos nada de cómo se plantea y se resuelve esta ecuación (tema que da para libros y cursos enteros), pero sí un resultado esencial de la teoría del potencial:

Teorema de existencia y unicidad
El problema del potencial posee solución y ésta es única.

¿Por qué esta propiedad es importante? Porque primero nos garantiza que hay solución (aunque no se pueda hallar analíticamente) pero además nos dice que es única. Por tanto, cualquier método vale para hallarla, incluyendo la inspiración o la analogía con problemas similares. Si una solución propuesta cumple la ecuación diferencial y las condiciones para el potencial en la superficie de cada conductor, es la solución, porque no hay otra.

Así, por ejemplo, para resolver el problema del campo alrededor de una esfera conductora de radio a a potencial V0 debemos imponer que se cumple la ecuación anterior con la condición de que en r = a el potencial tiene el valor dado. Recordando los problemas de potenciales creados por distribuciones de carga, podemos ver que el potencial debido a una superficie esférica uniformemente cargada satisface tanto la ecuación como la condición para el potencial en la superficie de la esfera, y por tanto, es la solución del problema, sin necesidad de hacer ningún cálculo adicional.

El problema del potencial es extremadamente general ya que se aplica a cualquier conjunto de conductores de forma arbitraria, con lo que lo mismo vale para estudiar el campo alrededor de un avión volando que para fabricar un condensador de un ordenador, pasando por una gran variedad de situaciones intermedias.

Antes de comentar algunos casos concretos, conviene hacer una precisión sobre los datos del problema del potencial. Antes se dijo que los voltajes de cada uno de los conductores era conocido. Esto no siempre es así. Hay muchas situaciones en que el dato es la carga total del conductor. Tenemos entonces dos posibilidades:

Conductor aislado o a carga constante
Es aquél que no tiene ninguna conexión con fuente alguna ni con tierra (en los esquemas, que no hay ningún hilo que llegue a él). En un conductor aislado la carga total permanece constante (ya que no puede irse a ningún sitio), aunque su distribución es cambiante, dependiendo de las circunstancias externas. En este caso, podemos afirmar que el potencial tiene el mismo valor en todos los puntos, aunque no sepamos cuanto vale y que conocemos la carga total. Caso particular importante es el de un conductor aislado y descargado, en el cual no solo sabemos que la carga es constante, sino que además Q = 0.

Así, si tenemos una esfera aislada y descargada (Q = 0) a la cual se aproxima una carga puntual +q, esta carga atrae a las cargas negativas de la esfera metálica, que se acumulan por el lado de la carga q. Ahora bien, puesto que la carga de la esfera es nula y no puede cambiar, estas cargas negativas acumuladas proceden de átomos de la propia esfera, que por tanto quedan cargados positivamente. Aparece entonces una acumulación de carga positiva en el lado opuesto del conductor (también, si las cargas positivas pueden moverse, porque se alejan repelidas por la carga +q).

Esta carga positiva acumulada implica que por ese lado del conductor las líneas de campo van hacia afuera. Dado que no pueden volver al propio conductor ni llegar a la carga +q (en ambos casos se cerraría un ciclo), deben ir al infinito. Por tanto, el potencial de la esfera es positvo, aunque su carga es nula.

Conductor a potencial constante
Es aquel que está conectado a una fuente de tensión que fija su potencial en un valor fijado. La fuente hace esto metiendo o sacando cargas del conductor (del mismo modo que una bomba mete agua en un depósito para mantener su nivel). Esto quiere decir que no sabemos cuanta carga hay en el conductor, ya que ésta depende de las circunstancias externas. Entre las fuentes de potencial está la tierra o masa, que no es una verdadera fuente (en el sentido de una pila o batería) sino una conexión a un conductor gigantesco situado al potencial que tomamos como 0. Cuando un conductor está conectado a tierra su voltaje es 0 y pueden llegar o salir de él todas las cargas que sean necesarias para mantener este voltaje.

Supongamos ahora una esfera puesta a tierra (V=0) a la cual se aproxima una carga puntual +q. De nuevo se produce una acumulación de carga negativa en las proximidades de la nueva carga, pero ahora estas cargas pueden provenir de la tierra, a través del cable de conexión.

Por otro lado, puesto que el potencial de la esfera es el mismo que el del infinito, no puede haber líneas de campo que salgan de ella y acaben en el infinito (ni en la propia esfera, ni hacia la carga +q). Por atnto, no hay líneas de campo que salgan de la esfera. Solo las hay que lleguen a ella. Por consiguiente, la carga de la esfera es negativa (aunque su potencial sea nulo).

Según esto, al plantear el problema, o conocemos la carga total del conductor, o conocemos su potencial, pero nunca ambas cosas. Una vez resuelto el problema, sí podemos emplear la solución para hallar la cantidad que no conocíamos al principio.

Es importante por tanto no confundir conductor descargado con conductor a tierra.

  • Un conductor está descargado cuando está aislado y su carga total es Q = 0, pero su potencial puede tener cualquier valor, positivo o negativo, dependiendo de si hay otros conductores o cargas en el sistema.
  • Un conductor está a tierra si su voltaje es el mismo que el del origen de potencial, V = 0, pero su carga puede ser cualquiera, dependiendo del resto del sistema
\left\{\begin{array}{rcl}Q = 0 & \not\Rightarrow & V = 0 \\ V = 0 & \not\Rightarrow & Q = 0\end{array}\right.

A continuación se describen algunas propiedades generales de soluciones de problemas del potencial, que también se ilustran en la sección de problemas.

3.2 Líneas de campo en un sistema de conductores

La condición de que las líneas de campo no pueden partir de un conductor y acabar en e mismo conductor se extiende a un sistema de conductores. Las líneas de campo electrostático siempre van de mayor a menor potencial, por lo que nunca se puede obtener un lazo cerrado, ni siquiera pasando por varios conductores. Esto permite obtener un ordenamiento en lso voltajes respectivos. Habrá un conductor que estará al máximo de potencial y, a partir de ahí, las líneas de campo irán de un conductor a otro, siempre en voltajes descendentes.

El infinito (o una carcasa exterior a tierra, si la hubiera) se incluye como un conductor adicional. Si las líneas de un conductor van hacia el infinito quiere decir que el potencial de ese conductor es positivo. Si llegan desde el infinito al conductor, el voltaje será negativo.

Por ejemplo, consideremos el sistema esquematizado en la figura siguiente:

El trazado es esquemático ya que las líneas de campo serán curvas, no rectas. En cuanto al sentido de estas líneas, nos dice que se cumple el orden V_1 > V_2 > V_3 >0\,

En cuanto a las cargas, la del conductor 1 es positiva, ya que todas las líneas de campo van hacia afuera del conductor, pero desconocemos el signo de la carga del condcutor y del 3, ya que hay tanto líneas que entran como líneas que salen.

Si ahora consideramos el caso esquematizado en la figura siguiente:

Tenemos que se verifica V2 > V3 > 0 y V2 > V1 pero no podemos asegurar que el potencial del conductor 1 sea mayor o menor que 0, ya que no hay líneas que vayan a o vuelvan del infinito al conductor. En cuanto a la carga del conductor 1 es negativa, la del dos es positiva y la del 3 es incierta.

Por último, el caso

es imposible, pues tenemos un bucle cerrado que va del conductor 2 al 3, del 3 al infinito y del infinito al 2.

3.3 Capacidad de un conductor

Cuando se tiene un solo conductor y nada más (ni más conductores, ni más cargas, ni campos aplicados), la cantidad de carga que almacena es proporcional al voltaje al que se encuentra respecto al infinito (que sería el origen de potencial). Si está a un 1 V almacena una carga Q0, si está a 2 V, el doble. Si está a −1 V tiene una carga negativa Q0. Esta relación de proporcionalidad se expresa

Q = C V\,

siendo C la capacidad del conductor. Esta capacidad se mide en faradios (1F = 1C/V). La capacidad de un conductor es una propiedad geométrica, que no depende del voltaje al que se encuentre, solo de la forma del conductor.

Archivo:Esfera-potencial-fijado.png

Para el caso de un conductor esférico de radio a

C = 4\pi\varepsilon_0a

Esta capacidad es extremadamente pequeña en la mayoría de los casos. Así, para una esfera del tamaño de la Tierra

a = R_T = 6370\,\mathrm{km}\qquad\qquad C = \frac{6.37\times 10^6}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}= 0.7\,\mathrm{mF}

Esta relación de proporcionalidad entre Q y V de un conductor se da única y exclusivamente cuando solo tenemos ese conductor. En el caso de que haya más elementos en el sistema, ya no será cierta.

3.4 Efecto punta

Tal como se ve en el ejemplo de la conexión de dos esferas alejadas, si tenemos un conductor cuya superficie tiene una curvatura variable (puede tener una punta en una parte, y ser casi plano en otra), la densidad de carga es mayor donde la curvatura es mayor, es decir, en las puntas.

Esto se puede entender gráficamente de forma sencilla. Supongamos que tenemos una superficie en la que destaca una protuberancia (como puede ser un árbol, un pararrayos o una persona en un descampado). Puesto que la protuberancia es parte del conductor, se encuentra al mismo potencial que el resto del conductor (por ejemplo, a tierra).

Archivo:campo-pararrayos.png

Si ahora hay un campo eléctrico aplicado (como el debido a una nube de tormenta situada a un alto voltaje), en la parte de la protuberancia se produce la misma diferencia de potencial con la nube que en cualquier otro punto, pero sobre una distancia menor. Esto quiere decir que el campo eléctrico ahí es más intenso (ya que su integral sobre una distancia menor nos da la misma d.d.p.). Gráficamente, las superficies equipotenciales están más próximas cerca de la punta. Puesto que el campo en la proximidad de un conductor es proporcional a la densidad superficial de carga, se llega a que esta es mayor en la punta que en el llano.

Este efecto punta se encuentra en el principio de los pararrayos. Si el campo eléctrico es lo suficientemente intenso en las proximidades de un mástil, es capaz de ionizar el aire que lo rodea, convirtiendo el aire en un plasma conductor. Cuando se produce la descarga, ésta fluye por un camino conductor, como lo haría por un cable, en este caso, por un “canal” en el aire, que llega hasta el pararrayos. Éste se encuentra conectado a tierra, por lo que la corriente no se detiene en la punta del pararrayos, sino que continúa por este camino distribuyéndose y amortiguándose por la superficie

3.5 Jaula de Faraday

3.5.1 Hueco vacío en un conductor

Hemos visto que en un material conductor en equilibrio electrostático el campo eléctrico es nulo, pero que en su exterior no lo es. ¿Qué ocurre si tenemos una cavidad?

Supongamos que un conductor tiene en su interior un hueco absolutamente vacío. En este caso, el campo en el interior del hueco es nulo. Es fácil ver por qué. Si no lo fuera, habría líneas de campo eléctrico en el interior, pero, ¿de donde a donde irían estas líneas de campo? No pueden dar vueltas sobre sí mismas, ni tampoco pueden acabar en la nada, ni salir del conductor y acabar en el mismo conductor. Por tanto, llegamos a la conclusión de que no puede haber líneas de campo ni campo en este hueco.

Este resultado es independiente de lo que haya fuera del conductor, puede haber cargas, un campo aplicado, otros conductores, etc. Su influencia no llega hasta el interior del hueco. Se dice que el hueco está apantallado por el conductor.

3.5.2 Teorema de Faraday

Supongamos ahora que tenemos el mismo conductor, con el mismo hueco, pero que ahora ya no está vacío, sino que en el interior hay cargas eléctricas. Puede haber una, o varias, o una distribución continua, otro conductor cargado, etc. En este caso por supuesto que habrá campo eléctrico en el hueco. Si dentro lo que hay es una carga positiva, habrá líneas de campo que salgan de la carga y vayan a parar al conductor. Puesto que el campo entra en el conductor, debe haber una densidad superficial de carga negativa en la pared del hueco. A la inversa si la carga del interior del hueco es negativa.

¿Cuánta carga hay acumulada en la superficie del hueco? Supongamos que envolvemos al hueco con una superficie cerrada S0 que se halla completamente contenida en el material conductor. De acuerdo con la ley de Gauss

\varepsilon_0\oint_{S_0} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=Q_\mathrm{int}

pero, por ser la superficie parte del material conductor el flujo es nulo

\varepsilon_0\oint_{S_0} \overbrace{\vec{E}}^{=\vec{0}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0

y por tanto la carga encerrada es nula. Esta carga es suma de la que hay dentro del hueco y la que hay en su superficie

0 = Q_\mathrm{int}=Q_\mathrm{hueco}+Q_\mathrm{sup}\qquad \Rightarrow\qquad Q_\mathrm{sup}=-Q_\mathrm{hueco}

es decir, en la pared del hueco se induce una carga igual en magnitud y de signo opuesto a la que haya dentro del hueco (teorema de Faraday). Esto es independiente de que la carga interior sea una carga puntual o una distribución. La carga de la superficie interior no se reparte uniformemente, sino que tendrá mayor densidad en los puntos más próximos a la carga interior.

¿De dónde sale esta carga que se induce en la superficie del hueco? Depende de si el conductor está aislado o no.

  • Si sí lo está, puesto que la carga de un conductor aislado permanece constante, solo puede provenir del propio conductor. Dado que la densidad de carga en un conductor se encuentra siempre en sus superficies, concluimos que debe provenir de la superficie exterior. Unos cuantos electrones se acumulan en la pared del hueco, y esto lo hacen abandonando algunos átomos de la superficie exterior, que por tanto ve aumentada su carga en Qsup = + Qhueco.
  • Si el conductor está unido a una fuente (o a tierra) esta carga proviene de la fuente, que aporta la carga necesaria para mantener el potencial del conductor.

3.5.3 Jaula de Faraday

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier conductor con cualquier hueco, con ayuda del teorema de existencia y unicidad.

Si tenemos un conductor a potencial fijado con un hueco en el que puede haber cargas, el campo eléctrico en el interior del hueco depende exclusivamente de la forma del hueco y de las cargas que haya en él. Todo lo que pase fuera (otros conductores, cargas, campos aplicados desde el exterior), es irrelevante, ya que no influye en lo que pase en el hueco. El conductor funciona como una pantalla o blindaje que protege al interior de lo que pase fuera. Se dice que el conductor funciona como una jaula de Faraday.

La protección funciona en los dos sentidos. Un observador o carga que se encuentre en el exterior del conductor no se entera en absoluto de la presencia de cargas en el hueco, ni de la propia existencia de éste. El conductor funciona como una pared opaca que apantalla lo que hay dentro de lo que hay fuera y viceversa.

Esta propiedad es muy importante en el diseño de toda clase de aparatos eléctricos y electrónicos, cuya carcasa es siempre una caja metálica puesta a tierra, que funciona como un blindaje. Un ejemplo sencillo lo tenemos en el caso de un cable coaxial como los que se usan para llevar la señal a los televisores. La malla metálica exterior se encuentra a tierra. De esta forma

  • Se evita que la señal que va por el interior se radie al exterior, perdiendo potencia de la señal.
  • Se impide que haya interferencias desde el exterior, que impidan la correcta recepción de la televisión.

Un conductor solo funciona como jaula de Faraday perfecta si está conectada a tierra o a una fuente de tensión. Si está aislada, en cambio, su carga permanece constante. Esto quiere decir que la carga que aparece en la pared del hueco proviene de la superficie exterior del conductor y por tanto un observador exterior percibe que hay una carga en el conductor (aunque no que haya un hueco o algo en el interior, solo ve el valor de la carga). En la práctica esto significa que una jaula protectora, si no está bien conectada a tierra puede producir un calambre al tocarla.

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