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Cinemática tridimensional de la partícula (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Trayectoria y ley horaria

1.1 Posición instantánea

Cuando una partícula se mueve por el espacio en cada instante ocupará una posición, que irá cambiando de forma continua con el tiempo (ya que la partícula no puede desmaterializarse o teleportarse a otra posición).

En principio podemos etiquetar cada posición por una letra A, B, C,... Sin embargo, es más práctico identificar cada posición por su vector de posición cuyas componentes cartesianas son las distancias (con signo) a los planos coordenados

\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z(t)\vec{k}

Aquí x(t), y(t) y z(t) son ciertas funciones continuas del tiempo.

Cuando se da la posición de la partícula como función del tiempo se dice que se conocen las ecuaciones horarias del movimiento.

1.2 Desplazamiento

El desplazamiento de una partícula en un intervalo Δt es la diferencia (vectorial) entre la posición al final del intervalo y la posición inicial

\Delta \vec{r}= \vec{r}(t_f)-\vec{r}(t_i)=\vec{r}(t_i+\Delta t)-\vec{r}(t_i)

Es importante hacer la distinción entre el desplazamiento y la distancia recorrida. Una partícula que recorra una curva cerrada tendrá un desplazamiento nulo, aunque la distancia recorrida no sea nula.

1.3 Desplazamiento diferencial

Cuando tenemos un desplazamiento entre dos instantes muy próximos,separados un intervalo dt, se dice que tenemos un desplazamiento diferencial

\mathrm{d}\vec{r}=\vec{r}(t+\mathrm{d}t)-\vec{r}(t)

Desde el punto de vista matemático, la palabra diferencial implica el proceso de tomar el límite \mathrm{d}t = \Delta t\to 0, con lo que técnicamente un desplazamiento diferencial tiene longitud nula. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, es más sencillo considerar un desplazamiento diferencial como de longitud muy pequeña comparada con las distancias típicas consideradas. Por ejemplo, si estamos hablando del desplazamiento de un vehículo sobre distancias de kilómetros a lo largo de minutos, un intervalo de milisegundos puede tratarse como un diferencial de tiempo, y un desplazamiento de milímetros puede considerarse un desplazamiento diferencial.

1.4 Trayectoria

Una partícula, al evolucionar en el tiempo, salvo cuando se encuentre en reposo, describe una curva en el espacio. Esta curva se conoce como la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones horarias sirven como ecuaciones paramétricas de la trayectoria, siendo el tiempo el parámetro.

No obstante, a una misma trayectoria le pueden corresponder infinitas ecuaciones horarias, dependiendo del ritmo con el que se recorre la curva. Por ejemplo, las ecuaciones horarias

\vec{r}(t) = \frac{At}{T}\vec{\imath}+A\frac{2t^2-T^2}{T^2}\vec{\jmath}

y

\vec{r}(t) = A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\cos(2\omega t)\vec{\jmath}

corresponden a la misma trayectoria, un arco de parábola horizontal.

En ocasiones, para indicar la trayectoria es preferible usar ecuaciones implícitas. En estas, se dan dos funciones (una sola, si el movimiento es plano), tales que

F(x,y,z) = 0\qquad G(x,y,z) = 0\qquad \forall t

Así, los dos ejemplos anteriores verifican

2x^2-Ay-A^2=0\,        z=0\,

1.5 Parametrización de una trayectoria

La trayectoria que sigue una partícula es una propiedad puramente geométrica, independiente de si se recorre con una cierta velocidad u otra diferente. Por ello, para describir la trayectoria, considerada como curva en el espacio, no es preciso -ni siquiera conveniente- que en esta descripción aparezca explícitamente el tiempo. Todo lo que necesitamos es un método para identificar los puntos que componen la trayectoria.

Esto se consigue mediante una parametrización, que no es más que la asignación de etiquetas individuales para cada punto. Por conveniencia de cálculo, esta etiqueta consiste usualmente en una variable \varphi, que varía de forma continua a lo largo de la curva.

Por ejemplo, para parametrizar una trayectoria circular, la variable más cómoda es el ángulo que forma el vector de posición con un eje fijo

\vec{r}(\varphi)=R\cos(\varphi)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}\,(\varphi)\vec{\jmath}

y no es necesario interpretar \varphi en términos de un tiempo (aunque puede hacerse, para visualizar la curva, al variar \varphi de forma uniforme, recorremos la circunferencia con rapidez constante).

1.6 Distancia medida sobre la curva

Para evitar el problema que supone identificar si las trayectorias de diferentes movimientos son coincidentes o no (debido a las diferencias en el ritmo con el que se recorre, o las variables empleadas para describir la trayectoria) se introduce la parametrización natural única para cada trayectoria (salvo un signo).

La idea es sencilla. En lugar de etiquetar cada punto de la trayectoria con el instante en que se pasa por él o con una variable arbitraria, se etiqueta usando la distancia s (sobre la curva) desde un punto de referencia:

\vec{r}=\vec{r}(s)

Esto es exactamente lo que se hace en las carreteras, cuyos puntos se identifican mediante los postes kilométricos (y no por la hora en que un viajero concreto pase por cada punto).

La parametrización natural es única para cada trayectoria, salvo el signo correspondiente al sentido en que se recorre la curva (en el caso de la carretera, si desde Sevilla a Granada, o desde Granada a Sevilla). También el punto desde el que se empieza a contar queda libre.

A la variable s, que mide la distancia sobre la curva, se la denomina parámetro natural o parámetro arco. Para medir la distancia a lo largo de la curva lo que se hace es rectificar esta. Rectificar consiste en descomponer la curva en una infinitud de trozos de longitud diferencial, cada uno de los cuales se puede considerar aproximadamente rectilíneo, de forma que

\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec{r}|
            

Sumando las longitudes de muchos trocitos diferenciales (esto es, integrando), obtenemos el valor del parámetro arco en un punto de la curva

s = s_0+\int_{\vec{r}_0}^\vec{r} |\mathrm{d}\vec{r}|

2 Ley horaria

Cuando se tiene la trayectoria parametrizada en términos de la distancia medida sobre la curva la descripción se completa indicando cómo cambia esta variable con el tiempo. Esta dependencia temporal se conoce como ley horaria:

s = s(t)\,

En el ejemplo de un coche que va de Sevilla a Granada, la ley horaria sería la hora a la que pasó por cada punto del camino sin prestar atención si en ese punto en concreto la carretera va hacia el sur o hacia el este.

Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:

\mbox{ecuacion horaria}\ \vec{r}=\vec{r}(t)=\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}(s) & \mbox{trayectoria}\\ & \\ s=s(t)& \mbox{ley horaria}\end{cases}

Si en lugar del parámetro arco, se describe la trayectoria con otra variable, como el ángulo del ejemplo anterior, también se denomina ley horaria a la dependencia de esta variable con el tiempo. Así, en general:

\mbox{ecuacion horaria}\ \vec{r}=\vec{r}(t)=\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}(\varphi) & \mbox{trayectoria}\\ & \\ \varphi=\varphi(t)& \mbox{ley horaria}\end{cases}

3 Velocidad

3.1 Velocidad media

Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo de tiempo y la duración de dicho intervalo

\vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_f)-\vec{r}(t_i)}{t_f-t_i}

De la definición se desprende que:

  • La velocidad es un vector: posee dirección y sentido, no solo un módulo (por tanto, decir que la velocidad es de 120 km/h es una información incompleta).
  • Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional serán m/s.
  • La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto en un movimiento cíclico la velocidad media es nula, pues el punto final e inicial coinciden, independientemente de la distancia que se haya recorrido.
  • La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.

3.2 Velocidad instantánea

De forma análoga al caso del movimiento rectilíneo definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se reduce a un instante)

\vec{v}\equiv\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo del vector de posición. En mecánica, una derivada respecto al tiempo suele representarse con un punto sobre la magnitud

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec{r}}

De esta definición se deduce que:

  • La velocidad instantánea es un vector: posee módulo, dirección y sentido.
  • Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente.
  • La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto.

Si lo que conocemos es la velocidad, como función del tiempo, hallamos la posición por integración

\vec{r}=\vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v}(t)\,\mathrm{d}t

3.3 Propiedades de la velocidad como vector

3.3.1 Componentes cartesianas

En un sistema de referencia considerado como fijo, las componentes cartesianas de la velocidad vienen dadas por las derivadas respecto al tiempo de las componentes de la posición

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}+\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{\jmath}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{k}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}+\dot{z}\vec{k}

o, separando por componentes

v_x = \dot{x}\qquad v_y = \dot{y}\qquad v_z = \dot{z}

Matemáticamente ello equivale a tratar el movimiento tridimensional como una combinación de tres movimientos unidimensionales. Por ello, podemos hallar cada componente de la posición integrando la componente de la velocidad correspondiente

x = x_0 + \int_0^t v_x\,\mathrm{d}t\qquad y = y_0 + \int_0^t v_y\,\mathrm{d}t\qquad z = z_0 + \int_0^t v_x\,\mathrm{d}t

3.3.2 Velocidad y ley horaria

Si tenemos el movimiento descrito en términos de la trayectoria y la ley horaria

\vec{r}=\vec{r}(\varphi)\qquad\qquad \varphi=\varphi(t)

podemos hallar la velocidad en cada punto empleando la regla de la cadena

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=  \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\varphi}\,\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\varphi}\,\dot{\varphi}

Hay que resaltar que la velocidad es siempre la derivada de la posición respecto al tiempo, no respecto al primer parámetro que aparezca. Por ejemplo, imaginemos que se nos dice que una partícula describe la trayectoria circular

\vec{r}=A\cos(\varphi)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}

entonces su velocidad en cada punto será

\vec{v} = \left(-A\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+A\cos(\varphi)\vec{\jmath}\right)\dot{\varphi}

y su valor dependerá de cómo cambie el ángulo con el tiempo, a través del factor \dot{\varphi}. Si no se incluye este factor, el cálculo será erróneo.

3.3.3 Módulo

Como todo vector, el vector velocidad instantánea posee un módulo, dirección y sentido, pudiendo escribirse en la forma

\vec{v}=|\vec{v}|\,\vec{T}

siendo \vec{T} un vector unitario en la dirección y sentido de la velocidad, del que hablaremos más adelante.

En numerosas ocasiones no estamos interesados en la dirección y sentido de la velocidad, ya que sabiendo que es tangente a la trayectoria, podemos determinarlos geométricamente. En ese caso, la información necesaria se reduce al módulo de la velocidad, |\vec{v}|. A esta cantidad se la conoce como rapidez (o celeridad):

Lo que en el habla cotidiana se denomina velocidad (“iba a 180 km/h”) es realmente una rapidez. Cuando la dirección y el sentido se dan por supuestos, la confusión entre los dos términos no es especialmente grave, pero siempre hay que tener en mente que la velocidad es realmente un vector, no un escalar.

3.3.3.1 Movimiento uniforme

La celeridad es la cantidad que nos informa del ritmo con el que se recorre la trayectoria. En particular, cuando la trayectoria (cualquiera que ésta sea) se recorre con rapidez constante, el movimiento se denomina movimiento uniforme.

|\vec{v}| = \mathrm{cte} \qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{Movimiento uniforme}

Así, por ejemplo, un movimiento circular uniforme no es un movimiento a velocidad constante, ya que aunque su módulo no varíe, su dirección y sentido cambian a lo largo de la trayectoria.

3.3.3.2 Unidades

La rapidez posee unidades de una distancia dividida por un tiempo. La unidad SI es el m/s, aunque otras unidades son de uso frecuente:

m/s km/h mph nudos
1 m/s = 1 3.6000 2.2369 1.9438
1 km/h = 0.2778 1 0.6214 0.5400
1 mph = 0.4470 1.6093 1 0.8690
1 nudo = 0.5144 1.8520 1.1508 1

Otra rapidez de uso frecuente en Física es la velocidad de la luz

c = 299\,792\,458 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \simeq 3\times 10^8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

de forma que la celeridad de una partícula elemental suele expresarse como, por ejemplo, v = 0.01c, con lo que la velocidad de la luz funciona también como unidad de medida de velocidades

3.3.3.3 Relación con la distancia

La rapidez equivale a la velocidad con la que se recorre la distancia medida a lo largo de la curva

|\vec{v}| = \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{|\mathrm{d}\vec{r}|}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\dot{s}

Esto quiere decir que, si conocemos la rapidez a lo largo de un movimiento, podemos determinar la distancia recorrida hasta un instante dado

s(t) = s_0 + \int_0^t |\vec{v}|\,\mathrm{d}t


Ejemplo. Movimiento circular uniforme

Como ilustración supongamos el movimiento circular

\vec{r}=R\cos(\omega t)\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\vec{\jmath}

La rapidez la calculamos como el módulo de la velocidad

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}= -R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\vec{\imath}+R\omega\cos(\omega t)\vec{\jmath}   \Rightarrow   |\vec{v}|=R\omega\,

La distancia recorrida sobre la curva es entonces, suponiendo que empezamos a medir desde t = 0

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=R\omega   \Rightarrow    s =\int_0^t R\omega\,\mathrm{d}t = \omega R t

Invirtiendo esta relación

t = \frac{s}{\omega R}

podemos escribir la ecuación de la circunferencia en función de la distancia medida sobre ella.

\vec{r}(s)=R\cos\left(\frac{s}{R}\right)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}\left(\frac{s}{R}\right)\vec{\jmath}

Este resultado debería ser evidente, ya que nos dice que cuando aumentamos el radio de la circunferencia, debemos recorrer una mayor distancia para girar el mismo ángulo.

3.3.3.4 Rapidez media

La rapidez (o celeridad) media de un movimiento en un intervalo es igual al cociente entre la distancia recorrida en dicho intervalo y su duración

|\vec{v}|_m = \frac{\Delta s}{\Delta t}

Esta es la cantidad que se usa en el habla coloquial al referirse a la “velocidad media” (“hizo un promedio de 110 km/h”).

Hay que destacar que la rapidez media no es igual al módulo de la velocidad media.

Consideremos un piloto de Fórmula 1 que recorre los 300 km de una carrera en 1:30 h, llegando finalmente a la meta. En ese caso su celeridad media es 200 km/h, pero su velocidad media es nula (pues no hay desplazamiento; acaba donde empezó).

3.3.4 Dirección y sentido. Vector tangente

De la definición de velocidad se deduce que se trata de un vector siempre tangente a la trayectoria, ya que un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria es un vector en la dirección de esta. Esto nos permite definir un vector unitario tangente a la trayectoria normalizando la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

o, tal como dijimos antes,

\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}

Puede demostrarse que el vector unitario tangente es independiente de la rapidez, esto es, que da igual que la trayectoria se recorra rápido o lento, el unitario tangente resultante es el mismo. Depende exclusivamente de la geometría de la trayectoria.

La única ambigüedad posible es el sentido. Dado que una misma curva puede recorrerse en un sentido o en el opuesto, existen dos posibles orientaciones para el vector tangente. Para un movimiento dado el unitario tangente siempre apunta en el sentido de avance de la partícula.

En un estado de reposo (instantáneo o permanente), \vec{v}=0 y el vector tangente no está definido.

3.3.4.1 Recta tangente

El origen de la expresión “irse por la tangente” corresponde al caso de una partícula que abandona su movimiento curvo para seguir un movimiento rectilíneo con la velocidad que llevaba en el momento de abandonar la trayectoria original.

Si en un instante dado t1 la partícula ocupa la posición \vec{r}_1 y se mueve con velocidad \vec{v}_1 la recta tangente a la trayectoria se obtiene prolongando hacia adelante y hacia atrás en la dirección de la velocidad,

\vec{r}_t=\vec{r}_1 + \vec{v}_1(t-t_1)

Esta es la recta que seguiría una partícula que se moviera uniformemente y que pasara por el mismo punto y a la misma velocidad que la partícula real. Es el movimiento rectilíneo y uniforme que más se aproxima al real de la partícula en las proximidades del instante t1.

En muchas ocasiones, si no vamos a considerar instantes muy alejados de uno dado, puede ser más f´cil trabajar con la recta tangente que con el movimiento auténtico, el cual puede ser muy complejo.

3.3.4.2 Movimiento rectilíneo

En tres dimensiones, un movimiento es rectilíneo se expresa diciendo que la dirección de la velocidad es constante (con posibles cambios de sentido). Esto equivale a que el vector tangente es constante (con posibles inversiones, como en el caso del movimiento armónico simple, que el sentido de movimiento va y viene, pero el movimiento es rectilíneo)

\vec{T} = \mathrm{cte} \qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{Movimiento rectilíneo}

3.3.5 Movimiento rectilíneo y uniforme

Combinando los dos enunciados anteriores se tiene que, en tres dimensiones, un movimiento es rectilíneo y uniforme cuando el módulo de la velocidad es constante y cuando también lo es su dirección y sentido. Esto es, cuando la velocidad, como vector, es constante

\vec{v} = \mathrm{cte} \qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{Movimiento rectilíneo y uniforme}

4 Aceleración

4.1 Definición

Se define la aceleración media como lo que varía la velocidad, dividido por el tiempo empleado en realizar el cambio

\vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}

Del mismo modo que se define la velocidad instantánea como la derivada de la posición respecto al tiempo, se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}=\dot{\vec{v}}

Esto quiere decir que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición respecto al tiempo, lo que se indica con dos puntos sobre la magnitud

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}=\ddot{\vec{r}}

4.2 Unidades

La aceleración tiene unidades de velocidad dividida por tiempo, que en el SI será (m/s)/s = m/s².

Una magnitud con dimensiones de aceleración que es especialmente importante es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, cuyo valor estándar es, por definición,

g = 9.80665\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

de manera que muchas aceleraciones se expresan como múltiplos de esta unidad, aunque dichas aceleraciones no estén relacionadas con la gravedad.

4.3 Componentes cartesianas

Considerando que la base \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\} es fija, resulta que las componentes cartesianas de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y segundas derivadas de las de la posición)

\vec{a}=a_x\vec{\imath}+a_y\vec{\jmath}+a_z\vec{k}=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}+\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\vec{\jmath}+\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\vec{k}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{\imath}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\vec{\jmath}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}\vec{k}

o, separando por componentes

\begin{array}{ccccc}
a_x & = & \dot{v}_x & = & \ddot{x} \\
a_y & = & \dot{v}_y & = & \ddot{y} \\
a_z & = & \dot{v}_z & = & \ddot{z} 
\end{array}

Cuando se separa un movimiento en sus componentes, puede verse como la superposición de tres movimientos rectilíneos. Así, por ejemplo, el movimiento

\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\vec{\imath} +R\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}

se descompone como

\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & R\cos(\omega t)\\ y & = & R\,\mathrm{sen}(\omega t)\\ z & = & 0\end{array}\right.

siendo las componentes cartesianas de su aceleración

\left\{ \begin{array}{rcl} a_x = \ddot{x} & = & -R\omega^2\cos(\omega t) = -\omega^2 x\\ a_y = \ddot{y} & = & -R\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)=-\omega^2y\\ a_z = \ddot{z} & = & 0\end{array}\right.

y por tanto, puede verse como la superposición de dos movimientos armónicos simples. Sin embargo, el resultado no es un un m.a.s. (que es un movimiento rectilíneo), sino un movimiento circular, según hemos dicho.

4.4 Cálculo de la velocidad y la posición

Si conocemos la aceleración en todo instante

\vec{a}=\vec{a}(t)

y las condiciones iniciales

\vec{r}_0 = \vec{r}(t=0)\qquad\qquad\vec{v}_0 = \vec{v}(t=0)

podemos determinar la velocidad en cada instante integrando una vez

\vec{v}(t) = \vec{v}_0+\int_0^t \vec{a}\,\mathrm{d}t

y la posición integrando una segunda vez

\vec{r}(t) = \vec{r}_0+\vec{v}_0t+\int_0^t\left(\int_0^t \vec{a}\,\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}t

4.4.1 Caso de una aceleración constante

En el caso de que la aceleración sea constante en el tiempo, la integración de la ecuación anterior es inmediata

\vec{a}=\vec{a}_0=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\vec{r}& = & \displaystyle \vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}_0t^2 \\ && \\ \vec{v}& = & \vec{v}_0+\vec{a}_0t\end{array}\right.

4.4.2 Aproximación parabólica

Cuando conocemos la posición \vec{r}_1, la velocidad \vec{v}_1 y la aceleración \vec{a}_1 del movimiento, podemos hallar cuál sería el movimiento de aceleración constante que más se aproxima l movimiento real en ese instante

\vec{r} = \vec{r}_1+\vec{v}_1(t-t_1)+\frac{1}{2}\vec{a}_1(t-t_1)^2

Esta es una aproximación muy buena para el movimiento real si no nos alejamos mucho del instante de tangencia. Representa una mejora sobre la aproximación lineal (la recta tangente) vista anteriormente.

De manera análoga pueden hallarse aproximaciones de tercer grado, de cuarto… Cada una será más precisa que la anterior, pero requerirá más términos y por tanto más cálculos.

Archivo:aproximacion-parabolica.gif

4.5 Componentes intrínsecas

A diferencia de la velocidad, la aceleración puede formar un ángulo cualquiera con la trayectoria.

Podemos escribir entonces el vector aceleración como suma de dos componentes, una en la dirección de movimiento, tangente a la velocidad, y un resto perpendicular a ella. Estas dos componentes se denominan aceleración tangencial y aceleración normal. Estas son las denominadas componentes intrínsecas de la aceleración.

\vec{a}=\vec{a}_t+\vec{a}_n\,        \vec{a}_t\parallel\vec{v}        \vec{a}_n\perp\vec{v}

Hay que destacar que la aceleración tangencial y la normal son vectores, no cantidades escalares. No obstante, también se denominan usualmente de la misma manera a las componentes escalares, dado por supuesto la dirección y el sentido.

4.5.1 Expresiones algebraicas

A partir del doble producto vectorial, pueden hallarse expresiones para la componente tangencial y la componente normal de la aceleración

Aceleración tangencial
\vec{a}_t = \frac{(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}}{|\vec{v}|^2}
o, usando el vector unitario tangente a la trayectoria
\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\qquad \vec{a}_t = (\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}
Si solo deseamos la componente escalar en la dirección del vector tangente
a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}
Aceleración normal
Puesto que la suma de la aceleración tangencial y la normal nos da el vector aceleración, podemos despejar
\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t
Podemos calcularla directamente empleando el doble producto vectorial
\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=(\vec{T}\times\vec{a})\times\vec{T}
Si solo deseamos el valor de la componente escalar
a_n = \sqrt{a^2-a_t^2}=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|}

4.5.2 Interpretación física

Las componentes intrínsecas de la aceleración poseen interpretación física, además de la puramente algebraica.

Sabemos que la velocidad, como vector, posee módulo (la rapidez) y dirección y sentido (expresados por el vector unitario tangente)

\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}

En el movimiento rectilíneo la aceleración sólo indica una cosa: el cambio en la rapidez, así que no hay ambigüedad en decir que un objeto se acelera, o se desacelera o frena.

En dos y tres dimensiones, en cambio decir que un cuerpo se acelera, puede referirse a dos conceptos, no incompatibles:

  • Que cambia la rapidez con que se mueve el cuerpo
  • Que cambia la dirección de movimiento

Ambos fenómenos implican un cambio en la velocidad y por tanto una aceleración.

Para separar los dos conceptos derivamos respecto la tiempo la expresión de la velocidad en función de la celeridad y el vector tangente

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(|\vec{v}|\vec{T}) = \frac{\mathrm{d}
\ }{\mathrm{d}t}\left(|\vec{v}|\right)\vec{T}+|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}

El primer término apunta en la dirección tangencial. Podemos demostrar que el segundo es perpendicular a ella, por el ser el vector tangente de módulo constante

1 = \vec{T}\cdot\vec{T}   \Rightarrow   0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{T}\cdot\vec{T})=2\vec{T}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}

Puesto que el producto escalar es nulo, ambos vectores son perpendiculares. En consecuencia

\vec{a}_t = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(|\vec{v}|\right)\vec{T}        \vec{a}_n = |\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}
Archivo:pendulo-vatan.gif        Archivo:pendulo-vatan.png

Por tanto:

Aceleración tangencial
Mide la variación en la rapidez, esto es, si la partícula pasa a moverse más rápido o más lento a lo largo de la trayectoria. La condición para que un movimiento sea uniforme es que la aceleración tangencial sea cero.
\mbox{Movimiento uniforme}\qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad \vec{a}_t=\vec{0}\quad\forall t
Un movimiento en el que la componente tangencial de la aceleración permanece constante en el tiempo (esto es, su rapidez varía uniformemente) se denomina uniformemente acelerado.
\mbox{Movimiento uniformemente acelerado}\qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad a_t=\mathrm{cte}\quad\forall t
Aceleración normal
Mide el cambio en la dirección del movimiento (el giro del vector tangente). La condición para que un movimiento sea rectilíneo es que la aceleración normal sea nula en todo instante
\mbox{Movimiento rectilineo}\qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad \vec{a}_n=\vec{0}\quad\forall t

4.5.3 Vector normal

A partir de la aceleración normal podemos definir un vector normal a la trayectoria

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}

Como el vector unitario tangente, el unitario normal es una propiedad puramente geométrica y no depende de la rapidez con que se recorra la trayectoria.

Este vector apunta siempre hacia el “interior” de la curva, esto es, nos indica hacia donde cambia la dirección del movimiento.

Hay que remarcar que el vector normal, como el vector tangente, depende de la posición.

4.5.4 Radio de curvatura

La aceleración normal puede escribirse en la forma

\vec{a}_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N}

donde R(t) es el llamado radio de curvatura de la trayectoria en ese instante. Este radio de curvatura es el radio de la llamada circunferencia osculatriz que es la que describiría una partícula que se moviera circularmente y tal que en ese instante ocupara la misma posición, tuviera la misma velocidad y la misma aceleración que la partícula real. El centro de esta circunferencia (centro de curvatura) está en cada instante en

\vec{r}_c(t) = \vec{r}(t)+R(t)\vec{N}(t)

La curva formada por los sucesivos centros de curvatura se denomina evoluta de la trayectoria.

Un movimiento circular es entonces aquel que tiene radio y centro de curvatura constantes.

A partir de la expresión vectorial de la aceleración normal podemos obtener el radio de curvatura como

R(t) = \frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{a}_n|}= \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{a}\times\vec{v}|}

A pesar de que esta expresión se calcula empleando la velocidad y la aceleración, que son específicas para cada movimiento concreto, el radio de curvatura y el centro de curvatura son propiedades puramente geométricas, independientes de la rapidez.

La inversa del radio de curvatura es la curvatura de la trayectoria

\kappa=\frac{1}{R}=\frac{|\vec{a}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|^3}

La curvatura, como el radio de curvatura, mide cuánto se dobla la trayectoria. Una curva muy cerrada posee un radio de curvatura pequeño y una curvatura grande. Una curva suave posee radio de curvatura grande y curvatura reducida. En particular una trayectoria rectilínea (que tiene aceleración normal nula) posee una curvatura igual a cero (y un radio de curvatura infinito).

Archivo:cinematica-elipse.png        Archivo:cinematica-elipse.gif

5 Cálculo de los diferentes elementos en un instante

De lo anterior se deduce que, conocida la posición como función del tiempo, \vec{r}=\vec{r}(t), puede calcularse el resto de magnitudes.

No obstante, a menudo no se dispone de una función sino, por medidas experimentales o por otras razones, de los valores de la posición \vec{r}, la velocidad \vec{v} y la aceleración \vec{a}, en un instante dado. En este caso no podemos calcular ninguna derivada (que requiere conocer la dependencia temporal). ¿Quiere esto decir que no podemos hallar la aceleración tangencial, por ejemplo? No. De hecho, empleando los resultados anteriores, podemos calcular los valores de casi todas las magnitudes para ese instante.

Datos Rapidez Vector tangente Aceleración tangencial (vector) Aceleración tangencial (escalar)
\vec{r},\ \vec{v},\ \vec{a} |\vec{v}| \vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \vec{a}_t=\frac{(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}}{|\vec{v}|^2} a_t=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}
Aceleración normal (vector) Aceleración normal (escalar) Vector normal Radio de curvatura Centro de curvatura
\vec{a}_n=\frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2} a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|} \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n} R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|} \vec{r}_c = \vec{r}+R\,\vec{N}

Como vemos, ninguno de estos cálculos requiere hallar ninguna derivada.

6 Movimiento plano

Dentro de los movimientos generales, un subconjunto muy importante es el de los movimientos planos, definidos por la condición de que la velocidad y la aceleración estén siempre contenidas en el mismo plano.

6.1 Caracterización del movimiento plano

En un movimiento en un plano, éste no tiene por qué ser uno de los planos coordenados, por lo que el criterio de que en el vector de posición aparezcan solo dos coordenadas (x e y, por ejemplo) no es suficiente para establecer que el movimiento sea plano.

Para caracteriza cuándo un movimiento es plano tenemos dos técnicas equivalentes:

  • El vector velocidad y el vector aceleración definen un plano. Se trata de que este plano siempre sea el mismo. Para ello el vector unitario perpendicular al plano
\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}
debe ser independiente del tiempo. A partir de la velocidad y la aceleración se halla \vec{B}. Si es evidente que es constante, o su derivada respecto al tiempo es nula en todo momento, entonces el movimiento es plano.
\vec{B}\neq \vec{B}(t) \qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{movimiento plano}
Equivalentemente, en lugar de la velocidad y la aceleración pueden emplearse los vectores tangente y normal.
\vec{T}\times \vec{N} = \vec{B} \neq \vec{B}(t) \qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{movimiento plano}
  • La otra forma consiste en observar que, puesto que la velocidad y la aceleración deben estar siempre en el mismo plano, la derivada respecto al tiempo de la aceleración (que nos da cómo varía ésta) también debe encontrarse en el mismo plano. Por tanto, debe ser ortogonal al vector \vec{B} definido anteriormente. Esto nos lleva a la condición vectorial
(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t} = 0
En términos de las componentes cartesianas, esta condición se puede escribir
\left|\begin{matrix} v_x & v_y & v_z \\ a_x & a_y & a_z \\ \dot{a}_x & \dot{a}_y & \dot{a}_z\end{matrix}\right| = 0 \qquad \Leftrightarrow\qquad \mbox{movimiento plano}

Por ejemplo, consideremos el movimiento en tres dimensiones

\vec{r} = A t \vec{\imath}+ B t^3 \vec{\jmath}+(C t + D t^3)\vec{k}

¿Se trata de un movimiento plano? No lo parece porque las tres componentes son no nulas y además varían de diferente manera. Hallamos la velocidad, la aceleración y la derivada de ésta respecto al tiempo

\vec{v} = A \vec{\imath}+ 3 B t^2 \vec{\jmath}+(C  + 3 D t^2)\vec{k}\qquad \vec{a} = 6B t \vec{\jmath}+6D t\vec{k}\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t} = 6B \vec{\jmath}+6D \vec{k}

Construimos el determinante con los tres vectores

(\vec{v}\times\vec{a})\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t} = \left|\begin{matrix} A & 3Bt^2 & C+3Dt^2 \\ 0 & 6Bt & 6Dt \\ 0 & 6B & 6D\end{matrix}\right| = 0

Puesto que la segunda y la tercera fila son proporcionales, el determinante es nulo. Por tanto, el movimiento es plano, aunque no lo pareciera en principio.

6.2 Coordenadas cartesianas

En el caso del movimiento plano, puede elegirse un sistema de referencia en el que el plano de movimiento sea el OXY. En este caso, la posición, la velocidad y la aceleración pueden escribirse como vectores de solo dos componentes

\begin{array}{ccc}
\vec{r} & = & x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}\\
\vec{v} & = & \dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}\\
\vec{a} & = & \ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}\\
\end{array}

6.3 Coordenadas polares

En el caso de movimiento en un plano, es útil considerar las coordenadas polares para describir el movimiento de la partícula, \{\rho,\varphi\}. Estas coordenadas son la distancia al origen del sistema de referencia (ρ) y el ángulo que forma el vector de posición con el eje OX (\varphi).

Se relacionan con las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

x = \rho\cos(\varphi) \qquad y =
\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)

y sus inversas

\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad
\varphi=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Las coordenadas polares llevan asociadas una base vectorial \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\varphi}\}, que apuntan respectivamente en la dirección radial (en la que varía ρ) y acimutal (en la que varía \varphi). Esta base se relaciona con la canónica por el cambio de base

\begin{array}{rcl}
\vec{u}_\rho & = & \cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath} \\
\vec{u}_\varphi & = & -\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}
\end{array}    ó    \begin{pmatrix}\vec{u}_\rho \\\vec{u}_\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & \mathrm{sen}(\varphi)\\ -\mathrm{sen}(\varphi) & \cos(\varphi)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\vec{u}_x \\\vec{u}_y\end{pmatrix}

y su inverso

\begin{array}{rcl}
\vec{\imath} & = & \cos(\varphi)\vec{u}_\rho-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{u}_\varphi \\
\vec{\jmath} & = & \mathrm{sen}(\varphi)\vec{u}_\rho+\cos(\varphi)\vec{u}_\varphi
\end{array}    ó    \begin{pmatrix}\vec{u}_x \\\vec{u}_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -\mathrm{sen}(\varphi)\\ \mathrm{sen}(\varphi) & \cos(\varphi)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\vec{u}_\rho \\\vec{u}_\varphi\end{pmatrix}


Archivo:vectores-polares.png        Archivo:cartesianas-polares.png

Los vectores unitarios en polares dependen de la posición. Aunque tengan el mismo nombre, el vector \vec{u}_\rho en un punto es diferente del vector \vec{u}_\rho en otro. Por ello, hay que tener un cuidado infinito a la hora de operar con vectores en coordenadas polares.

Archivo:vectores-polares.gif

En particular, cuando consideramos el movimiento de una partícula, su posición, y por tanto los vectores de la base en polares, son funciones del tiempo. Por ello, cuando aparezca una derivada o una integral, habrá que tenerlos en cuenta. Sus derivadas respecto del tiempo valen

\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t}=-\dot{\varphi}\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}\,+\,\dot{\varphi}\cos(\varphi)\vec{\jmath}=\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi\qquad
\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\varphi}{\mathrm{d}t}=-\dot{\varphi}\cos(\varphi)\vec{\imath}\,-\,\dot{\varphi}\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}=-\dot{\varphi}\vec{u}_\rho

6.3.1 Posición en polares

Puesto que el vector \vec{u}_\rho es el unitario en la dirección del vector de posición en el plano tenemos que la expresión de este en polares es

\vec{u}_\rho = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}=|\vec{r}|\vec{u}_\rho = \rho\vec{u}_\rho

6.3.2 Velocidad en polares

la velocidad la calculamos derivando esta expresión respecto al tiempo, donde debemos recordar que también hay que derivar el vector unitario. Aplicamos la derivada de un producto

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\vec{u}_\rho + \rho\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t} = \dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi

Esta expresión nos dice que la velocidad se compone de dos partes, una radial, debida a que la partícula se acerca o aleja del origen de coordenadas, y una acimutal, asociada al giro en torno a éste.

Por ejemplo, si consideramos una partícula describiendo un movimiento circular alrededor del origen,

\rho = A = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{\rho}=0\qquad\qquad \dot{\varphi}=\omega

y resulta la velocidad

\vec{v} = \overbrace{\dot{\rho}}^{0}\vec{u}_\rho + \overbrace{\rho}^{A}\overbrace{\dot{\varphi}}^{\omega}\vec{u}_\varphi = \omega A\vec{\varphi}

En un movimiento circular alrededor del origen la velocidad es puramente acimutal, ya que la partícula solo gira en torno al origen.

Archivo:circular-polares.gif

Sin embargo, el que la velocidad acimutal sea distinta de cero (que visto desde el origen se vea girar), no implica que el movimiento sea circular, ni siquiera curvo.

Consideremos el caso de una partícula que sigue un movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo de una recta paralela al origen de forma que

x = L\qquad y = v_0 t

La expresión de este movimiento en polares es

\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{L^2+v_0^2t^2}\qquad\qquad\varphi=\,\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\,\mathrm{arctg}\left(\frac{v_0t}{L}\right)

Las derivadas respecto al tiempo de estas dos magnitudes valen

\dot{\rho}=\frac{v_0^2 t}{\sqrt{L^2+v_0^2 t^2}}\qquad \dot{\varphi} = \frac{v_0L t}{L^2+v_0^2t^2}

y esto nos da la velocidad instantánea

\vec{v}=\frac{v_0^2 t\vec{u}_\rho+v_0Lt\vec{u}_\varphi}{\sqrt{L^2+v_0^2t^2}}

vemos que aunque el movimiento sea rectilíneo y uniforme, resulta una velocidad radial y una acimutal no nula. Para interpretarlo nos imaginamos a un observador situado en el origen de coordenadas, que apunte en todo momento a la partícula. Este observador ve a la partícula acercarse y alejarse (pasando por un mínimo justo cuando está en la perpendicular a la recta), y también ve cambiar la dirección de observación, lo que equivale a un giro.

Archivo:rectilineo-polares.gif

6.3.3 Aceleración en polares

Operando igualmente obtenemos la expresión de la aceleración en polares, solo que esta vez debemos derivar más términos y también el vector \vec{u}_\varphi

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{\rho}\vec{u}_\rho + \dot{\rho}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\rho}{\mathrm{d}t} +\dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\rho\ddot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\rho\dot{\varphi}\frac{\mathrm{d}\vec{u}_\varphi}{\mathrm{d}t}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\vec{u}_{\varphi}

En el caso del movimiento circular tenemos que, para la coordenada radial

\rho = A\qquad\dot{\rho}=0\qquad \ddot{\rho}=0

y para la acimutal

\dot{\varphi}=\omega\qquad\ddot{\varphi}=\alpha

lo que nos da la aceleración lineal

\vec{a}=-A\omega^2\vec{u}_\rho+A\alpha\vec{u}_\varphi

En general tendrá tanto componente radial (que en este caso coincide con la aceleración normal) como componente acimutal (que en este caso coincide con la tangencial).

En el caso del movimiento rectilíneo y uniforme, tras una serie de cálculos bastante laboriosos se llega a que

\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2=0\qquad\qquad \rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi}=0

y por tanto

\vec{a}=0\vec{u}_\rho+0\vec{u}_\varphi = \vec{0}

como corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme.

6.3.4 Resumen de expresiones

Los vectores de posición, velocidad y aceleración en este sistema quedan, por tanto,


\begin{array}{rcl}
\vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho}\\
\vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\varphi}\,\vec{u}_{\varphi}\\
\vec{a} & = &(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\vec{u}_{\varphi}
\end{array}

En coordenadas polares, la rapidez es igual a

|\vec{v}| =
\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2}

Como ejemplo de movimiento que es más fácil de expresar en coordenadas polares que en cartesianas, consideremos una partícula que describe una espiral de Arquímedes, en la cual la distancia al centro aumenta linealmente con el tiempo. Empleando coordenadas cartesianas, la ecuación horaria es

\vec{r} = k t\cos(\omega t)\vec{\imath}+k
t\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}

lo cual, a la hora de derivar para hallar la velocidad y la aceleración puede ser bastante engorroso. En coordenadas polares se expresa

\rho = k t\qquad\qquad\varphi = \omega t

y la velocidad y aceleración son inmediatas

\vec{v} = k\vec{u}_\rho + k\omega t\vec{u}_\varphi\qquad
\vec{a}=-k\omega^2t \vec{u}_\rho+ 2k\omega
\vec{u}_\varphi

6.4 Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas polares pueden extenderse a tres dimensiones añadiendo una tercera coordenada cartesiana, que sería la altura z.

grua.jpg
x = \rho\cos(\varphi) \qquad y =
\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad z = z

Estas tres coordenadas se denomina respectivamente radial, acimutal y vertical

Movimiento radial Movimiento acimutal Movimiento vertical
Archivo:grua32.gif Archivo:grua21.gif Archivo:grua43.gif

La base vectorial se amplía simplemente añadiendo el vector \vec{k}

\begin{array}{rcl}
\vec{u}_\rho & = & \cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath} \\
\vec{u}_\varphi & = & -\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath} \\
\vec{k} & = & \vec{k}
\end{array}

Esta base es ortonormal y dextrógira.

En coordenadas cilíndricas la posición, velocidad y aceleración quedan


\begin{array}{rcl}
\vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho}+z\vec{k}\\
\vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\varphi}\,\vec{u}_{\varphi}+\dot{z}\vec{k}\\
\vec{a} & = &(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\varphi}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\vec{u}_{\varphi}+\ddot{z}\vec{k}
\end{array}

Un movimiento sencillo de representar en coordenadas cilíndricas sería el de una hélice (no confundir con una espiral), recorrida con rapidez constante

\rho = A\qquad\varphi = \omega t \qquad z = v_0t\,

7 Ejemplos de movimientos

7.1 Rectilíneo

Un movimiento rectilíneo, como su nombre indica, es aquel cuya trayectoria es una recta. Cinemáticamente, esto se caracteriza porque su aceleración normal, responsable del cambio de dirección en la velocidad, es siempre nula. La velocidad y la aceleración son siempre paralelas en un movimiento rectilíneo

\mbox{Movimiento rectilineo}\qquad \Leftrightarrow \qquad\vec{T}=\mathrm{cte}\qquad \Leftrightarrow \qquad \vec{a}_n=\vec{0}\qquad \Leftrightarrow \qquad \vec{v}\times\vec{a}=\vec{0}\quad\forall t

En el caso de un movimiento rectilíneo, el paramétro arco no es más que la distancia medida sobre la recta en que se desplaza la partícula, de forma que la posición, velocidad y aceleración en cualquier instante se pueden escribir como

\vec{r}=\vec{r}_0 + s\vec{T}        \vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}=\dot{s}\,\vec{T}        \vec{a}=|\vec{a}|\vec{T}=\ddot{s}\,\vec{T}

Puesto que la elección de ejes de coordenadas es arbitraria, si estamos estudiando el movimiento rectilíneo de una sola partícula, podemos tomar el eje X como la recta soporte del movimiento y reducir la descripción a una escalar

\vec{r}=x(t)\vec{\imath}        \vec{v}=\dot{x}\,\vec{\imath}        \vec{a}=\ddot{x}\,\vec{\imath}

7.1.1 Rectilíneo uniformemente acelerado

Un caso particular de movimiento rectilíneo es aquel en que la aceleración es una constante

\vec{a}=a_0\vec{\imath}

En este movimiento la celeridad aumenta linealmente con el tiempo

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=a_0   \Rightarrow   v = v_0+\int_0^ta_0\,\mathrm{d}t=v_0+a_0t   \Rightarrow   \vec{v}=(v_0+a_0t)\vec{\imath}

y la posición varía de forma cuadrática con el tiempo

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v=v_0+a_0t   \Rightarrow   s=s_0+\int_0^t(v_0+a_0t)\mathrm{d}t=s_0+v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2   \Rightarrow   \vec{r}=\left(s_0+v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2\right)\vec{\imath}

7.1.2 Rectilíneo y uniforme

Otro caso particular de movimiento es el que tiene aceleración nula. En este caso

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_0   \Rightarrow   \vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v_0}t

En el caso de una velocidad constante, el movimiento resultante es siempre rectilíneo y uniforme.

7.2 Parabólico

El movimiento parabólico, característico del tiro de un proyectil, se caracteriza por tener una aceleración constante debida a la gravedad

\vec{a}=\vec{g}=-g\vec{k}

(tomando como eje Z el perpendicular al suelo y dirigido hacia arriba). Integrando esta ecuación una vez obtenemos la velocidad instantánea

\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{g}t

y una nueva integración nos da la posición instantánea:

\vec{r}=\vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2

Este movimiento es plano, ya que su aceleración es constante y por tanto

\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}\cdot(\vec{v}\times\vec{a})=0

Si tomamos el eje X como el que pertenece al plano de movimiento podemos escribir la posición instantánea como

\vec{r}=(x_0+v_{x0}t)\vec{\imath}+\left(z_0+v_{z0}t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}

Esta ecuación puede leerse como que el movimiento parabólico es una superposición de un movimiento uniforme en la dirección horizontal y uno uniformemente acelerado en la dirección vertical.

Eliminando el tiempo entre las dos coordenadas obtenemos una ecuación para la trayectoria

t = \frac{x-x_0}{v_{x0}}   \Rightarrow    z = z_0 + \frac{v_{z0}}{v_{x0}}(x-x_0) -\frac{g}{2v_{x0}^2}(x-x_0)^2

Al tratarse de un polinomio de segundo grado, es claro que la trayectoria es una parábola dirigida hacia abajo.

Aunque la aceleración sea constante, tanto la aceleración tangencial como la normal son funciones del tiempo. La celeridad de la partícula disminuye al ascender y vuelve a aumentar al descender, alcanzando su mínimo en el vértice de la parábola. En este punto, la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es puramente normal.

7.3 Circular

Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica que

  • El movimiento es plano: Existe un vector constante \vec{B} tal que
\vec{B}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0\qquad\forall t
  • El radio de curvatura permanece constante:
R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\mathrm{cte}\qquad\forall t

Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:

  • El centro de curvatura permanece constante:
\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}=\vec{r}+\frac{|\vec{v}|^2}{a_n^2}\vec{a}_n=\mathrm{cte}

Por tanto, dadas la ecuación horaria del movimiento o, más en general, la trayectoria en función de cualquier parámetro, si calculamos el centro de curvatura y resulta un vector constante el movimiento es circular, aunque en la expresión no sea evidente.

7.3.1 Velocidad angular

En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que

\left|\vec{r}-\vec{r}_c\right| = R

en el caso particular de un movimiento circular R y \vec{r}_c son constantes, por lo que si elevamos al cuadrado esta expresión

\left|\vec{r}-\vec{r}_c\right|^2 = (\vec{r}-\vec{r}_c)\cdot(\vec{r}-\vec{r}_c)=R^2

y derivamos respecto al tiempo

0 = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(R^2) = 2\vec{v}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_c)

esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro de la circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como

\vec{v} = \vec{\omega}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)

donde \vec{\omega} es la velocidad angular. Es un vector perpendicular al plano de la trayectoria circular y con un sentido tal que se verifica la regla de la mano derecha respecto al giro (si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección del giro, el pulgar marca la dirección y sentido de la velocidad angular).

La velocidad angular posee dimensiones de 1/tiempo, con lo que en el sistema internacional se mide en s-1 o rad/s.

7.3.2 Aceleración angular

Derivando en la expresión anterior para la velocidad

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)+\vec{\omega}\times\vec{v}=\vec{\alpha}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_c\right)\right)

El vector

\vec{\alpha} = \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}

es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son rad/s².

7.3.3 Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante

v = v_0=\mathrm{cte}\qquad \Leftrightarrow \qquad \vec{a}_t=\vec{0}

En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está cambiado. La aceleración es puramente normal

\vec{a}=\vec{a}_n = \frac{v_0^2}{R}\vec{N}

lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de la circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de módulo constante se cumple

\vec{a} = \frac{v_0^2}{R^2}R\vec{N}=-\frac{v_0^2}{R^2}(\vec{r}-\vec{r}_c)

En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante

\vec{\omega}=\frac{v_0}{R}\vec{B}

siendo \vec{B} el vector normal al plano de la circunferencia. La aceleración angular es nula

\vec{\alpha}=\vec{0}

La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como

\vec{a}=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_c))=-\omega^2(\vec{r}-\vec{r}_c)

Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el tiempo necesario para dar una vuelta completa

T = \frac{2\pi}{\omega}

Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia natural

f = \frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}

7.3.4 Movimiento en el plano XY

Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY y con el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En coordenadas polares, una circunferencia centrada en el origen se escribe simplemente

\rho = R\,

La ecuación vectorial de la trayectoria se reduce a

\vec{r}=R\vec{u}_\rho = R\cos(\varphi)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}\,(\varphi)\vec{\jmath}

siendo la ley horaria

\varphi = \varphi(t)\,

La velocidad de un movimiento circular es puramente acimutal,

\vec{v}=R\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi = R\dot{\varphi}\left(-\,\mathrm{sen}\,(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}\right)

siendo la rapidez y el vector tangente

|\vec{v}| = R|\dot{\varphi}|        \vec{T}=\pm \vec{u}_\varphi

El signo variable depende del sentido de recorrido sobre la circunferencia. Por ejemplo, el movimiento de la lenteja de un péndulo es circular (aunque no complete una circunferencia) pero en su vaivén, el vector tangente unas veces coincide con el unitario en la dirección acimutal y otras es el opuesto.

La distancia medida sobre la curva

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}= R\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}   \Rightarrow    s = s_0+R\varphi\,

La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla vectorialmente por \vec{r} resulta la velocidad. Esto da

\vec{\omega}=\dot{\varphi}\vec{k}

La aceleración de la partícula es

\vec{a}=-R\dot{\varphi}^2\vec{u}_\rho + R\ddot{\varphi}\vec{u}_\varphi

con componentes intrínsecas

\vec{a}_t = R\ddot{\varphi}\vec{T}        \vec{a}_n=R\dot{\varphi}^2\vec{N}

con el vector normal

\vec{N}=-\vec{u}_\rho=-\frac{\vec{r}}{R}

Por último, la aceleración angular viene dada por

\vec{\alpha}=\ddot{\varphi}\vec{k}

Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a

\varphi = \omega t + \varphi_0\,

con ω constante.

7.4 Oscilador armónico

El movimiento armónico simple se define como el que es:

  • Rectilíneo
  • Cumple la ecuación de movimiento
\vec{a}=-\omega^2(\vec{r}-\vec{r}_\mathrm{eq})

Por ejemplo, el movimiento, descrito en un problema

\vec{r}(t)=A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+2A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\vec{\jmath}+2A\cos^2(\omega t)\vec{k}

es armónico simple, sin embargo el movimiento

\vec{r} = A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}

no lo es, por no ser rectilíneo (es circular uniforme).

No obstante, lo anterior, el comportamiento de un oscilador armónico puede generalizarse a tres dimensiones como aquel movimiento que verifica la ecuación

\vec{a}=\ddot{r}=-\omega^2(\vec{r}-\vec{r}_\mathrm{eq})

Si medimos la posición respecto al punto de equilibrio, sustituyendo \vec{r}-\vec{r}_\mathrm{eq} por \vec{r} (entendiendo que tomamos como origen el punto de equilibrio), esta ecuación se reduce a

\vec{a}=\ddot{r}=-\omega^2\vec{r}

La solución general de esta ecuación diferencial es de la forma

\vec{r}=\vec{r}_0\cos(\omega t) + \frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

siendo \vec{r}_0 y \vec{v}_0 la posición y la velocidad iniciales.

Como en el caso unidimensional, este movimiento es periódico, con periodo

T = \frac{2\pi}{\omega}

Sin embargo, en general no se trata de un movimiento rectilíneo, sino elíptico alrededor del punto de equilibrio. Solo será rectilíneo si la posición y la velocidad inicial son vectores paralelos o alguno de ellos es nulo.

Archivo:muelle2d.png    Archivo:muelle2d-b.gif

Si separamos en sus componentes cartesianas, el movimiento tridimensional equivale a la superposición de tres movimientos armónicos unidimensionales

\begin{array}{rcl}x & = & \displaystyle x_0\cos(\omega t) + \frac{v_{x0}}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t) \\ & & \\ y & = & \displaystyle y_0\cos(\omega t) + \frac{v_{y0}}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t) \\ & & \\ z & = & \displaystyle z_0\cos(\omega t) + \frac{v_{z0}}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\end{array}

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