Cinemática del Punto (GITI)

Introducción

Cinemática y dinámica

Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuando existe un cambio continuo de su posición relativa a lo largo del tiempo. La rama de la Física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos es la Mecánica, y ésta se subdivide en las siguientes disciplinas:

Cinemática

que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus causas.

Dinámica

que conecta el movimiento y sus características con las causas (fuerzas) que lo producen.

Estática

que establece las condiciones de equilibrio mecánico (ausencia de movimiento).

En este tema nos ocuparemos de la cinemática en general, y de la cinemática de la partícula (o del punto material) específicamente.

Esta descripción se centra en la evolución de las posiciones de las partes de un sistema, como función del tiempo. No requiere el conocimiento de otras cantidades como la masa, la fuerza, o la energía, que son objeto de la Dinámica.

Para poder desarrollar la Cinemática es necesario establecer una serie de conceptos previos, que permitan sostener todo el entramado matemático. Entre estos postulados están

• Espacio
• Tiempo
• Partícula (o punto material)
• Sólido rígido

Espacio y tiempo

El espacio y el tiempo son conceptos primitivos, que no pueden definirse más que por la experiencia: el espacio es lo que miden las reglas y el tiempo lo que miden los relojes.

Conjuntamente constituyen el espacio-tiempo, que es el marco en que se produce el movimiento.

No obstante, a la hora de caracterizarlos matemáticamente, es necesario hacer algunas precisiones sobre el modelo que vamos a emplear para describir el movimiento de las partículas.

Independencia entre espacio y tiempo

Dado que no vamos a considerar mecánica relativista, admitiremos que el espacio y el tiempo son magnitudes independientes, medidas separadamente. Es lo que se conoce como espacio-tiempo galileano.

Tiempo uniforme

Admitimos que el tiempo fluye uniformemente y es el mismo para todos los observadores, de forma que si dos eventos son simultáneos para un observador, lo son para todos los demás observadores (esto deja de ser cierto en relatividad).

Espacio euclídeo

Admitimos que el espacio es

• Homogéneo: posee las mismas propiedades en todos sus puntos.
• Isótropo: todas las direcciones son equivalentes
• Tridimensional: Existen tres dimensiones, que podemos denominar largo, ancho y alto.
• Plano: que no significa que sea bidimensional, sino que cualquier recta puede prolongarse indefinidamente, manteniendo constante su dirección.

Todas estas propiedades son abstracciones, que no resultan de forma inmediata de nuestra experiencia. En la mayoría de los problemas de mecánica, el espacio con el que se trata no es ni homogéneo (no es lo mismo estar sobre el suelo que bajo él), ni isótropo (pues hay una dirección preferida, la dada por la gravedad), ni tridimensional (si se trata de una partícula que rueda por la superficie terrestre), ni plano (por ser curvada la superficie terrestre). Es a base de generalizaciones y abstracciones que se llega al modelo del espacio euclídeo.

Sistemas de referencia

Todo movimiento se produce respecto a un observador, el cual para describirlo emplea un sistema de referencia. Las propiedades del espacio enunciadas anteriormente permiten que este sistema de referencia sea cartesiano.

Dado un punto del espacio, O, que tomamos como origen de coordenadas, tomamos tres planos que pasan por dicho punto y que sean ortogonales entre sí, que denominaremos XY, XZ e YZ. Definimos entonces las coordenadas cartesianas de cualquier otro punto como las distancias (con signo), $x$, $y$, $z$ a estos planos coordenados ($x$ la distancia al YZ, $y$ al XZ, y $z$ al XY).

Los planos se cortan en tres rectas, también ortogonales entre sí, que denominamos ejes de coordenadas X, Y y Z. Los vectores unitarios tangentes a estos ejes forman una base ortonormal $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}\}$, conocida como base canónica, de forma que la posición de cualquier punto P puede expresarse mediante su vector de posición

${\vec {r}}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}+z{\vec {k}}$

Un sistema de referencia estará siempre en reposo respecto a sí mismo, pero para otro observador puede estarse moviendo de forma arbitraria. No hay que pensar que un sistema de ejes es algo inmóvil, absoluto y de algún modo ligado al espacio. Un sistema de referencia no es más que una herramienta útil para describir los movimientos y según las circunstancias pueden tomarse ejes que (vistos por otro observador) están rotando o trasladándose.

Por la misma razón no hay que presuponer que, por ejemplo, “el eje Z es vertical”. Nadie se encuentra un eje Z por la calle. El eje Z será el que nosotros queramos que sea y si nos interesa que forme un ángulo de 37° respecto al suelo, pues así lo podemos tomar.

En lo que sigue, siempre que se hable de que una partícula está en reposo o se mueve de tal o cual manera, debe sobreentenderse siempre la coletilla “respecto a un cierto sistema de referencia”, que se fija de antemano.

Partícula

La partícula o punto material es un modelo matemático consistente en un punto geométrico (sin dimensiones) dotado de una masa finita y distinta de cero (densidad másica infinita). La utilidad de este modelo radica en que:

• proporciona un punto de partida relativamente simple para el desarrollo teórico de la mecánica de modelos más complejos;
• aproxima el comportamiento dinámico de aquellos cuerpos cuyas dimensiones propias son muy inferiores a las dimensiones promedio de sus desplazamientos (por ejemplo, los cuerpos celestes);
• permite estudiar el movimiento del centro de masa de cualquier sistema mecánico.

Cinemática del movimiento rectilíneo

Introducción

Antes de considerar el problema completo del movimiento de una partícula en el espacio de tres dimensiones, examinaremos el problema unidimensional, más simple, de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo

Posición

Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe a una recta, no necesitamos el álgebra vectorial para identificar las diferentes posiciones de la partícula. Nos basta con una etiqueta $x(t)$ que designa la posición a lo largo de la recta. Esta cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la izquierda o a la derecha de la posición a lo largo de la recta que hayamos etiquetado como $x=0$.

En el caso unidimensional podemos representar la posición frente al tiempo, colocando el tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas. Esta posibilidad no existe en el caso tridimensional.

Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse en $x_{1}$ en el instante $t_{1}$ a una posición $x_{2}$ en el instante $t_{2}$ se dice que en elintervalo de tiempo $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ha experimentado un desplazamiento

$\Delta x=x(t_{2})-x(t_{1})=x_{2}-x_{1}\,$

El desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de distancia (m, en el SI), posee la propiedad de que es independiente de que punto se toma como origen de posiciones.

Velocidad

Velocidad media

Si una partícula realiza un desplazamiento $\Delta x$ en un intervalo $\Delta t$, se define la velocidad media (en una dimensión) como el cociente entre el desplazamiento y el intervalo empleado en realizarlo

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

De la definición se desprende que:

• Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional serán m/s.
• La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto si al final del intervalo la posición es la misma que al principio, la velocidad media es 0, independientemente de las idas y vueltas que se hayan dado.
• La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.
• En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad media representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(t_{1},x_{1})$ y $(t_{2},x_{2})$. En particular si la posición inicial y la final son la misma, resulta una recta horizontal de pendiente nula.

Velocidad instantánea

El concepto de velocidad media no es especialmente útil, ya que solo nos informa del ritmo promedio, pero un movimiento concreto puede hacerse de forma irregular y normalmente interesa definir la velocidad en un momento dado, conocida como velocidad instantánea. Hoy día, con la presencia de velocímetros en los automóviles, el concepto de velocidad instantánea es intuitivo y todos tenemos una experiencia directa de la magnitud. Se trata de precisar matemáticamente el concepto.

Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué estamos diciendo exactamente? Evidentemente, no que durante la última hora se han recorrido 120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha. Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido 2 km. ya que

${\frac {120\,\mathrm {km} }{1\,\mathrm {h} }}={\frac {2\,\mathrm {km} }{1\,\mathrm {min} }}$

Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido 3.33 m,…

${\frac {120\,\mathrm {km} }{1\,\mathrm {h} }}={\frac {2\,\mathrm {km} }{1\,\mathrm {min} }}={\frac {33.3\,\mathrm {m} }{1\,\mathrm {s} }}={\frac {3.33\,\mathrm {m} }{0.1\,\mathrm {s} }}=\cdots$

En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la velocidad en un instante dado.

Definimos entonces la velocidad instantánea en una dimensión como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se reduce a un instante)

$v\equiv {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo de la posición instantánea. En mecánica, una derivada respecto al tiempo suele representarse con un punto sobre la magnitud

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\dot {x}}$

De esta definición se deduce que:

• Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente.
• La velocidad tiene un signo: es positiva si el valor de $x$ está aumentando (nos movemos hacia la derecha del punto de referencia) y es negativa si está disminuyendo (nos movemos hacia la izquierda).
• La velocidad puede ser nula. En ese caso se dice que la partícula se encuentra en un estado de reposo instantáneo.
• La velocidad no es igual al espacio partido por tiempo. Es la derivada de la posición respecto al tiempo.
• En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad representa la pendiente de la recta tangente a la curva $x(t)$ en el punto $(t,x(t))$.
• Si el estado es de reposo instantáneo esta tangente es horizontal. En ese momento usualmente la posición alcanza un máximo o un mínimo.

Conocida la velocidad en cada instante y la posición inicial, puede hallarse la posición instantánea, sumando los desplazamientos infinitesimales, esto es, integrando

$x=x_{0}+\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {d} x=x_{0}+\int _{0}^{t}v\,\mathrm {d} t$

Gráficamente, si trazamos la curva de la velocidad como función del tiempo, el desplazamiento desde la posición inicial es el área bajo la curva $v=v(t)$.

Unidades

La velocidad posee unidades de una distancia dividida por un tiempo. La unidad SI es el m/s, aunque otras unidades son de uso frecuente:

	m/s	km/h	mph	nudos
1 m/s =	1	3.600	2.2369	1.9438
1 km/h =	0.2778	1	0.6214	0.5400
1 mph =	0.4470	1.6093	1	0.8690
1 nudo =	0.5144	1.8520	1.1508	1

Otra rapidez de uso frecuente en Física es la velocidad de la luz

$c=299\,792\,458{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\simeq 3\times 10^{8}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

de forma que la velocidad de una partícula elemental suele expresarse como, por ejemplo, $v=0.01c$, con lo que la velocidad de la luz funciona también como unidad de medida de velocidades

Aceleración

La aceleración de un movimiento rectilíneo se define como la derivada de la velocidad instantánea, y por tanto, como la segunda derivada de la posición

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$

Usando la notación de puntos para indicar la derivada respecto al tiempo

$a={\dot {v}}={\ddot {x}}$

De la definición se tiene que

• La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado, siendo su unidad en el SI el m/s²
• Una magnitud con dimensiones de aceleración que es especialmente importante es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, cuyo valor estándar es, por definición,

$g=9.80665\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

de manera que muchas aceleraciones se expresan como múltiplos de esta unidad, aunque dichas aceleraciones no estén relacionadas con la gravedad. Así, por ejemplo, para medir las aceleraciones laterales de un piloto de Fórmula 1 en una curva se dice, por ejemplo, “está sometido a 3 fuerzas G”, que quiere decir que

$a=3g=29.42\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Por tanto, g aquí funciona como unidad de medida de la aceleración.

• En la gráfica $x(t)$, la aceleración está asociada a la concavidad de la curva. Donde la aceleración es positiva la gráfica es cóncava hacia arriba, y donde es negativa es cóncava hacia abajo.

Conocida la aceleración en cada instante y la velocidad inicial, se puede hallar la velocidad en cada instante por integración de la aceleración

$v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a(t)\,\mathrm {d} t$

y la posición mediante la segunda integración

$x=x_{0}+v_{0}t+\int _{0}^{t}\left(\int _{0}^{t}a\,\mathrm {d} t\right)\mathrm {d} t$

Ejemplos de movimiento rectilíneo

Dentro de los movimientos rectilíneos existen infinitos casos posibles, ya que cualquier función continua puede representar el movimiento de una partícula.

Existen, no obstante, algunos casos particulares de interés:

Uniforme

Un movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.) es aquel que posee aceleración nula en todo instante. Integrando una vez obtenemos que la velocidad es constante y que la posición varía linealmente con el tiempo

$v=v_{0}\,$    $x=x_{0}+v_{0}t\,$

La gráfica de la posición frente al tiempo es una recta cuya pendiente es igual a la velocidad. La gráfica de la velocidad frente al tiempo es una recta horizontal.

Uniformemente acelerado

Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.) es aquel que posee una aceleración constante, $a_{0}$. La integración produce una velocidad que varía linealmente y una posición que lo hace cuadráticamente

$v=v_{0}+a_{0}t\,$    $x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}\,$

Gráficamente $x(t)$ posee forma parabólica, mientras que $v(t)$ es una recta de pendiente $a_{0}$

Hay que recalcar, porque es causa frecuente de errores, que esta fórmula solo se aplica al caso de que la aceleración sea constante. Si $a=a(t)$ habrá que hacer la integral y el resultado no será de esta forma.

Asimismo, si lo único que se conoce es la aceleración en un momento dado, tampoco se podrán aplicar estas fórmulas, ya que para poder integrar necesitamos conocer la aceleración durante todo un intervalo, no en un solo instante.

Armónico simple

El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un caso particular de movimiento rectilíneo, caracterizado por la ecuación de movimiento

$a={\ddot {x}}=-\omega ^{2}x$

siendo $\omega$ una constante.

La expresión general de un posible desplazamiento que verifique esta ecuación es

$x=A\cos(\omega t+\beta )\,$

siendo $A$ y $\beta$ dos constantes que se pueden calcular a partir de la posición y la velocidad inicial.

El movimiento armónico simple también se puede definir de forma alternativa como el obtenido al proyectar un movimiento circular uniforme sobre un diámetro cualquiera de la circunferencia.

La velocidad y la aceleración instantáneas se calculan derivando la expresión de $x(t)$:

$v={\dot {x}}=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t+\beta )$  $a={\ddot {x}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\beta )=-\omega ^{2}x\,$

Si representamos la posición a lo largo del eje X como función del tiempo obtenemos una función periódica

$x(t+T)=x(t)\,$

con $T$ el periodo de oscilación. La forma de la función es sinusoidal. Este movimiento se caracteriza por los siguientes variables y constantes:

Elongación, $x(t)$

es la posición instantánea, considerada como distancia (con signo) respecto a la posición central del movimiento.

Fase, $\phi =\omega t+\beta$

Indica en que punto del ciclo se encuentra el sistema. Para un periodo varía entre 0 y 2π rad.

Amplitud, $A$

es la máxima elongación del movimiento. Se mide en m en el SI.

Frecuencia angular, $\omega$

En el SI se mide en rad/s.

Periodo, $T$

Es el intervalo necesario para una oscilación completa. Se calcula a partir de la frecuencia angular como

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

En el SI el periodo se mide en s.

Frecuencia natural, $f$

mide el número de oscilaciones que el sistema realiza en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo

$f={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}$

En el SI se mide en hercios, Hz, equivalentes a 1 ciclo/s o simplemente a 1 s⁻¹.

Constante de fase, $\beta$

También llamada fase inicial. Es proporcional al adelanto (fracción de período transcurrida) entre el instante de máxima elongación (que corresponde a una fase $\phi =0$) y el instante inicial (t=0).

La velocidad y la aceleración de este movimiento son también funciones oscilatorias, con el mismo periodo pero desfasadas, un cuarto de periodo la velocidad y medio periodo la aceleración. En un periodo de oscilación, cuando la elongación es máxima, la velocidad es nula y la aceleración es máxima (pero de signo contrario a la elongación). En el punto central la elongación y la aceleración son nulas, mientras que la velocidad es máxima.

  

El movimiento armónico simple es característico de los osciladores armónicos, que son sistemas sometidos a una fuerza recuperadora lineal (según la ley de Hooke). Por ello, será estudiado más extensamente en el tema de movimiento oscilatorio.

Movimiento en tres dimensiones. Introducción

Ecuaciones horarias

A la hora de estudiar el movimiento de una partícula en tres dimensiones, las herramientas del movimiento rectilíneo se revelan insuficientes. Para empezar, necesitamos usar vectores para describir la posición instantánea de la partícula

${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}+z(t){\vec {k}}$

Aquí $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ son ciertas funciones continuas del tiempo.

Cuando se da la posición de la partícula como función del tiempo se dice que se conocen las ecuaciones horarias del movimiento.

Partiendo de las ecuaciones horarias, ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$, podemos estudiar vectorialmente la posición de la partícula y extender los conceptos de velocidad y aceleración al espacio tridimensional. En este planteamiento podemos ver el movimiento tridimensional como una combinación de tres movimientos rectilíneos independientes, uno por cada coordenada $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$.

Trayectoria y ley horaria

Alternativamente, podemos separar el estudio del movimiento tridimensional en dos partes: la curva que recorre la partícula y cómo se mueve a lo largo de ella.

Trayectoria

Es el conjunto de puntos que recorre la partícula en su movimiento. Estos puntos forman una curva continua, que puede describirse mediante una ecuación vectorial

${\vec {r}}={\vec {r}}(\theta )$

donde $\theta$ es una cierta variable que identifica de forma unívoca a cada punto del camino y que varía de forma monótona a lo largo de éste.

Ley horaria

Una vez que establecemos que la partícula se mueve a lo largo de una cierta curva, hay que describir a qué ritmo lo hace. Esta descripción la da la ley horaria

$\theta =\theta (t)\,$

Así, el movimiento se descompone en

${\mbox{ecuacion horaria}}\ {\vec {r}}={\vec {r}}(t)={\begin{cases}{\vec {r}}={\vec {r}}(\theta )&{\mbox{trayectoria}}\\&\\\theta =\theta (t)&{\mbox{ley horaria}}\end{cases}}$

Parametrización natural

Ante el problema que supone identificar si las trayectorias de diferentes movimientos son coincidentes o no (debido a las diferencias en el ritmo con el que se recorre, o las variables empleadas para describir la trayectoria) la parametrización natural proporciona una expresión única para cada trayectoria (salvo un signo).

La idea es sencilla. En lugar de etiquetar cada punto de la trayectoria con el instante en que se pasa por él o con una variable arbitraria, se etiqueta usando la distancia $s$ medida sobre la curva desde un punto de referencia:

${\vec {r}}={\vec {r}}(s)$

$s$ es conocido como parámetro natural o parámetro arco.

En el caso del movimiento a lo largo de una carretera, los diferentes valores de $s$ vendrían dados por los postes kilométricos situados a lo largo de ella.

La parametrización natural es única para cada trayectoria, salvo el signo correspondiente al sentido en que se recorre la curva (en el caso de la carretera, si desde Sevilla a Granada, o desde Granada a Sevilla). También el punto desde el que se empieza a contar queda libre.

Para medir la distancia a lo largo de la curva lo que se hace es rectificar esta. Rectificar consiste en descomponer la curva en una infinitud de trozos de longitud diferencial, cada uno de los cuales se puede considerar aproximadamente rectilíneo, de forma que

$\mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|$       

Sumando las longitudes de muchos trocitos diferenciales (esto es, integrando), obtenemos el valor del parámetro arco en un punto de la curva

$s=s_{0}+\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}|\mathrm {d} {\vec {r}}|$

Una vez que se tiene la trayectoria parametrizada naturalmente, el movimiento a lo largo de la trayectoria viene dado por la ley horaria

$s=s(t)\,$

En el ejemplo de la carretera, la ley horaria sería análoga a un diario de ruta de un transportista que va anotando a qué hora llegó a cada punto de su camino.

La ley horaria $s(t)$ representa el análogo a la posición instantánea $x(t)$ en el movimiento rectilíneo. Sin embargo el hecho de que la trayectoria no sea en general una línea recta introduce efectos de curvatura adicionales, que requieren estudiar la geometría de curvas en el espacio con un cierto detalle.

Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:

${\mbox{ecuacion horaria}}\ {\vec {r}}={\vec {r}}(t)={\begin{cases}{\vec {r}}={\vec {r}}(s)&{\mbox{trayectoria}}\\&\\s=s(t)&{\mbox{ley horaria}}\end{cases}}$

Coordenadas polares

Artículo completo: Coordenadas polares

En el caso de movimiento en un plano, es útil considerar las coordenadas polares para describir el movimiento de la partícula, $\{\rho ,\theta \}$. Estas coordenadas son la distancia al origen del sistema de referencia $(\rho )$ y el ángulo que forma el vector de posición con el eje $OX$ $(\theta )$. A su vez, estas coordenadas lleva asociadas una base vectorial $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}$. Los vectores de posición, velocidad y aceleración en este sistema son

${\begin{array}{l}{\vec {r}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{2})\,{\vec {u}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho {\ddot {\theta }})\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

Hay que tener presente que, en general, en este sistema los vectores de la base cambian con el tiempo durante el movimento del punto. Por tanto, sus derivadas respecto del tiempo no son nulas.

Geometría de curvas

Tipos de trayectorias

La trayectoria que sigue una partícula es una curva en el espacio de tres dimensiones. Dentro de las infinitas posibles curvas, existen tipos particulares, que conviene definir, por sus especiales propiedades:

Trayectoria rectilínea

es la que consiste en una única recta, que no tiene por qué coincidir con uno de los ejes de coordenadas. Una trayectoria rectilínea admite la parametrización natural

${\vec {r}}(s)={\vec {r}}_{0}+s{\vec {u}}$

siendo ${\vec {u}}$ un vector unitario que marca la dirección de la recta y ${\vec {r}}_{0}$ un punto por el que pasa.

Trayectoria plana

Es aquella que en todo momento se encuentra contenida en un cierto plano. Verifica la ecuación vectorial del plano

${\vec {B}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=0$

donde ${\vec {B}}$ es un cierto vector constante y ${\vec {r}}_{0}$ un punto del plano que contiene a la trayectoria.

Trayectoria alabeada

Es aquella que no puede ser contenida en un plano, sino que es necesariamente tridimensional. Un ejemplo clásico de trayectoria alabeada es la correspondiente al movimiento helicoidal.

Trayectoria cerrada

Es aquella que forma un bucle y la partícula recorre una y otra vez el mismo lazo. También es aquella que para un movimiento finito de una partícula tiene un punto final coincidente con el inicial. Una trayectoria circular es un caso particular de trayectoria cerrada.

Trayectoria abierta

Es la que no es cerrada. Puede ser finita en extensión o (idealmente) ir desde el infinito al infinito.

Cálculo de la parametrización natural

Las más de las veces, el movimiento de una partícula se da en función de alguna variable, que puede ser el tiempo, como en la ecuación

${\vec {r}}(t)={\frac {A(T^{2}-t^{2})}{T^{2}+t^{2}}}{\vec {\imath }}+{\frac {2ATt}{T^{2}+t^{2}}}{\vec {\jmath }}$

o un parámetro puramente geométrico, que varía de forma monótona a lo largo de la curva:

${\vec {r}}(\theta )=A\cos(\theta ){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}$

y nos interesa determinar la parametrización natural de la curva, bien para identificar esta (ya que, por ejemplo, no es evidente en el primero de estos ejemplos que se trata de una trayectoria circular) o para trabajar con la ley horaria $s=s(t)$.

La forma de llegar a esta parametrización es partir de la relación

$\mathrm {d} s=\left|\mathrm {d} {\vec {r}}\right|$

Si aquí dividimos por un incremento diferencial del parámetro $\theta$ (que puede ser el tiempo)

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}=\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\right|$

e integrando aquí

$s=s_{0}+\int _{0}^{\theta }\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\right|\mathrm {d} \theta$

Si somos capaces de invertir la relación $s(\theta )$ (lo cual en muy pocos casos es posible analíticamente), podremos escribir la ecuación de la trayectoria en su parametrización natural ${\vec {r}}={\vec {r}}(s)$.

Ejemplo: parametrización de una circunferencia

Como ilustración supongamos la trayectoria circular

${\vec {r}}=R\cos(\theta ){\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}$

Hallamos el módulo de la derivada respecto al parámetro $\theta$

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=-R\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+R\cos(\theta ){\vec {\jmath }}$ ⇒ $\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\right|=R$

El parámetro arco es entonces, suponiendo que empezamos a medir desde $\theta =0$

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}=R$ ⇒  $s=\int _{0}^{\theta }R\,\mathrm {d} \theta =R\theta$

Invirtiendo esta relación

$\theta ={\frac {s}{R}}$

lo que nos da la parametrización natural de la circunferencia

${\vec {r}}(s)=R\cos \left({\frac {s}{R}}\right){\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \left({\frac {s}{R}}\right){\vec {\jmath }}$

Triedro de Frenet

Cuando se describe la dinámica de una partícula aparecen vectores, como una fuerza que actúe sobre la partícula, que pueden tener cualquier orientación respecto a la trayectoria. Para operar con estos vectores es conveniente expresar sus componentes en una determinada base vectorial.

Una posible base vectorial la constituye la base cartesiana $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}\}$. Sin embargo, a menudo estamos interesados en aspectos geométricos concretos relacionados con el movimiento de la partícula. ¿Es la fuerza en la dirección de la velocidad? ¿Es perpendicular a ella? ¿Es perpendicular a la aceleración? Por ello, interesa definir una base vectorial relacionada con la trayectoria. Interesa también que esta base sea ortonormal, por la simplicidad del cálculo en estas bases.

la base más adecuada la constituye el triedro de Frenet formado por tres vectores unitarios y perpendiculares entre sí, denominados respectivamente, vector tangente ${\vec {T}}$, vector normal ${\vec {N}}$ y vector binormal ${\vec {B}}$

Vector tangente

El vector tangente, como su nombre indica, es el unitario que es tangente a la curva en cada punto.

Para obtener una expresión para este vector partimos de que un desplazamiento

$\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$

a lo largo de la trayectoria define una recta secante a ella. La dirección de esta recta la da el vector unitario

${\vec {u}}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{|\Delta {\vec {r}}|}}$

Para obtener un vector unitario tangente, lo que hacemos es aproximar el punto ${\vec {r}}_{2}$ al ${\vec {r}}_{1}$ de forma que quedan separados una cantidad infinitesimal. El límite resultante es el vector unitario tangente a la trayectoria

${\vec {T}}=\lim _{\Delta {\vec {r}}\to {\vec {0}}}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{|\Delta {\vec {r}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{|\mathrm {d} {\vec {r}}|}}$

En términos de la parametrización natural queda

${\vec {T}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} s}}$

Si en lugar del parámetro arco usamos cualquier otra variable (que puede ser el tiempo), simplemente dividimos el numerador y el denominador por el diferencial correspondiente

${\vec {T}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s/\mathrm {d} \theta }}$

Así, por ejemplo, para la trayectoria circular tenemos

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=-R\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+R\cos(\theta ){\vec {\jmath }}$    ${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}=R$ ⇒ ${\vec {T}}=-\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}$

Es importante recordar que el vector tangente se calcula para cada punto de la trayectoria y su dirección y sentido nos da la tangente a la curva en ese punto, pero no es aplicable a un punto distinto.

Vector normal

Dada una cierta trayectoria, la dirección tangente es única. Sin embargo, existen infinitas direcciones ortogonales a ella, por lo que a la hora de elegir un vector normal es necesario añadir algún criterio adicional.

Para ello consideramos lo siguiente. Cuando nos movemos a lo largo de la trayectoria, el vector tangente va cambiando de dirección. Es inmediato que la derivada del vector tangente respecto a cualquier parámetro es necesariamente ortogonal al propio vector tangente, por ser este unitario

$1={\vec {T}}\cdot {\vec {T}}$ ⇒ $0={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} s}}({\vec {T}}\cdot {\vec {T}})=2{\vec {T}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}$

Puesto que el producto escalar es nulo, ambos vectores son perpendiculares.

Definimos entonces el vector normal como el unitario que apunta en la dirección y sentido de la derivada del vector tangente respecto al parámetro arco

${\vec {N}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} s}{\left|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} s\right|}}$

Si en lugar del parámetro natural se usa cualquier otra variable, el resultado es análogo

${\vec {N}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta }{\left|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta \right|}}$

Geométricamente, el vector normal apunta en la dirección y sentido hacia donde se dobla la trayectoria.

En el caso del movimiento circular tenemos

${\vec {T}}=-\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}$    ${\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} \theta }}=-\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}$    $\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} \theta }}\right|=1$

lo que nos da el vector normal

${\vec {N}}=-\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}$

Vector binormal

Para completar la base ortonormal podemos obtener un tercer vector multiplicando vectorialmente los dos anteriores

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}$

En el caso de la trayectoria circular resulta el vector binormal

${\vec {B}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-\,\mathrm {sen} (\theta )&\cos(\theta )&0\\-\cos(\theta )&-\,\mathrm {sen} (\theta )&0\end{matrix}}\right|={\vec {k}}$

Expresión de un vector

Cualquier vector ligado a la partícula podrá escribirse entonces como la combinación lineal

${\vec {F}}=F_{t}{\vec {T}}+F_{n}{\vec {N}}+F_{b}{\vec {B}}$

Al tratarse de una base ortonormal, cada una de estas componentes podrá calcularse como

$F_{t}={\vec {F}}\cdot {\vec {T}}$    $F_{n}={\vec {F}}\cdot {\vec {N}}$    $F_{b}={\vec {F}}\cdot {\vec {B}}$

Combinando los tres resultados

${\vec {F}}=({\vec {F}}\cdot {\vec {T}}){\vec {T}}+({\vec {F}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}+({\vec {F}}\cdot {\vec {B}}){\vec {B}}$

Cada vector podrá descomponerse en una parte paralela a la trayectoria y una parte perpendicular a ella.

${\vec {F}}={\vec {F}}_{\parallel }+{\vec {F}}_{\perp }$

La parte paralela es la que va en la dirección del vector tangente, mientras que la parte perpendicular es la suma de la componente normal y de la binormal.

${\vec {F}}_{\parallel }=F_{t}{\vec {T}}=({\vec {F}}\cdot {\vec {T}}){\vec {T}}$    ${\vec {F}}_{\perp }={\vec {F}}-{\vec {F}}_{\parallel }=F_{n}{\vec {N}}+F_{b}{\vec {B}}=({\vec {F}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}+({\vec {F}}\cdot {\vec {B}}){\vec {B}}$

Hay que destacar que el triedro de Frenet es dependiente de la posición. El vector tangente en un punto de la trayectoria será diferente del vector tangente en otro punto, y por tanto las componentes de los vectores irán cambiando de un punto a punto, aunque el vector no cambie.

Recta tangente y plano osculador

Los vectores de la base definen tres ejes coordenados (prolongando en la dirección de cada vector) y tres planos coordenados (combinando linealmente dos de ellos). Entre estos destaca

Recta tangente

Si en un punto dado la partícula ocupa la posición ${\vec {r}}_{0}$ en el cual el vector tangente es ${\vec {T}}$ la recta tangente a la trayectoria se obtiene prolongando hacia adelante y hacia atrás en la dirección de este vector

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda {\vec {T}}$

En un movimiento rectilíneo la trayectoria coincide con la propia recta tangente, que permanece constante.

${\mbox{Movimiento rectilineo}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\vec {T}}=\mathrm {cte}$

En un movimiento rectilíneo no está definido el vector normal.

Plano osculador

Es el definido por los vectores tangente y normal. Si en un instante dado la partícula se encuentra en la posición ${\vec {r}}_{0}$, el plano osculador tiene la ecuación

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda {\vec {T}}+\mu {\vec {N}}$

La ecuación vectorial de este plano es

$({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {B}}=0$

Una trayectoria es plana cuando se encuentra contenida siempre en el mismo plano, que será necesariamente el plano osculador. Por ello, la condición matemática de curva plana es que

${\mbox{Movimiento plano}}\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad \qquad {\vec {B}}=\mathrm {cte.}$

Curvatura y radio de curvatura

La curvatura de una trayectoria, $\kappa$, se define como el módulo de la derivada del vector tangente respecto al parámetro natural

$\kappa =\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}\right|={\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}\cdot {\vec {N}}$

La curvatura es una medida de cómo cambia la dirección de la trayectoria. Cuanto mayor es la curvatura, más cerradas son las curvas que describe.

Puesto que el parámetro natural es una distancia, la curvatura tiene las dimensiones de la inversa de una longitud y se medirá en m⁻¹ en el SI.

Si la curva se tiene parametrizada empleando otra variable habrá que dividir por el diferencial correspondiente

$\kappa =\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s/\mathrm {d} \theta }}\right|$

La inversa de la curvatura es el radio de curvatura

$R={\frac {1}{\kappa }}$

El radio de curvatura (que posee dimensiones de longitud) posee interpretación geométrica: es el radio de la circunferencia osculatriz, que es la que más se aproxima a la trayectoria en un punto de esta, ya que posee el mismo valor de la posición, la misma primera derivada y la misma segunda derivada respecto al parámetro de la trayectoria.

Esta circunferencia posee por centro el llamado centro de curvatura, dado por la ecuación

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

Reuniendo todos los pasos tenemos el esquema de la figura.

Velocidad

Una vez que hemos caracterizado las trayectorias, definiendo sus elementos fundamentales, que constituyen las propiedades geométricas del movimiento, podemos pasar a definir las propiedades cinemáticas de dicho movimiento, que dependen de cómo se mueve la partícula a lo largo de la trayectoria.

Velocidad media

Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo de tiempo y la duración de dicho intervalo

${\vec {v}}_{m}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

De la definición se desprende que:

• La velocidad es un vector: posee dirección y sentido, no solo un módulo (por tanto, decir que la velocidad es de 120 km/h es una información incompleta).
• Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional serán m/s.
• La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto en un movimiento cíclico la velocidad media es nula, pues el punto final e inicial coinciden, independientemente de la distancia que se haya recorrido.
• La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un desplazamiento dividido por un intervalo.

Velocidad instantánea

Como en el caso del movimiento rectilíneo definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, esto es, como la derivada respecto al tiempo del vector de posición.

${\vec {v}}\equiv {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\dot {\vec {r}}}$

De esta definición se deduce que:

• La velocidad instantánea es un vector: posee módulo, dirección y sentido.
• Las componentes cartesianas de la velocidad, al ser la base canónica fija en el espacio, son iguales a las derivadas temporales de cada una de las componentes

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {\imath }}+{\dot {y}}{\vec {\jmath }}+{\dot {z}}{\vec {k}}$

• Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente.

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto. Si en la definición introducimos el diferencial de parámetro natural tenemos

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} s}}={\dot {s}}{\vec {T}}$

Vemos que ${\dot {s}}=\mathrm {d} s/\mathrm {d} t$ desempeña el mismo papel que ${\dot {x}}$ en el movimiento rectilíneo. Nos dice con qué rapidez nos movemos a lo largo de la trayectoria, pudiendo anularse o hacerse negativa si en algún momento la partícula retorna en su movimiento (por ejemplo, una masa sujeta en el extremo de un péndulo).

Esto nos permite redefinir el vector tangente como el unitario en la dirección de la velocidad

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t}{|\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t|}}$

que corresponde al caso particular $\theta =t$ de la fórmula que establecimos anteriormente.

Si tenemos la posición expresada como función de un cierto parámetro $\theta$ (función del tiempo según una cierta ley horaria), la velocidad se calcula mediante la aplicación de la regla de la cadena

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}{\dot {\theta }}$

Celeridad (o rapidez)

En numerosas ocasiones no estamos interesados en la dirección y sentido de la velocidad, ya que sabiendo que es tangente a la trayectoria, podemos determinarlos geométricamente. En ese caso, la información necesaria se reduce al módulo de la velocidad. A esta cantidad se la conoce como celeridad (o rapidez):

$v=\left|{\vec {v}}\right|$

Lo que en el habla cotidiana se denomina velocidad (“iba a 180 km/h”) es realmente una celeridad. Cuando la dirección y el sentido se dan por supuestos, la confusión entre los dos términos no es especialmente grave, pero siempre hay que tener en mente que la velocidad es realmente un vector, no un escalar.

La rapidez es igual al valor absoluto de la componente tangencial de la velocidad

$v=\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\dot {s}}\right|$

Movimiento uniforme

Cuando la trayectoria (cualquiera que ésta sea) se recorre con rapidez constante, el movimiento se denomina movimiento uniforme.

Así, por ejemplo, un movimiento circular uniforme no es un movimiento a velocidad constante, ya que aunque su módulo no varíe, su dirección y sentido cambian a lo largo de la trayectoria.

La celeridad de un movimiento nos permite medir la distancia recorrida entre dos instantes

$L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\vec {v}}|\,\mathrm {d} t$

Si la partícula nunca efectúa un cambio de sentido de marcha esta distancia equivale al incremento en el parámetro arco, $L=\Delta s$

La celeridad media en un intervalo será igual a la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrela

$\left\langle v\right\rangle ={\frac {L}{\Delta t}}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\vec {v}}|\,\mathrm {d} t$

Esta es la cantidad que se usa en el habla coloquial al referirse a la “velocidad media” (“hizo un promedio de 110 km/h”).

Hay que destacar que la celeridad media no es igual al módulo de la velocidad media, ni a la velocidad media definida en el caso del movimiento rectilíneo. Consideremos un piloto de Fórmula 1 que recorre los 300 km de una carrera en 1:30 h, llegando finalmente a la meta. En ese caso su celeridad media es 200 km/h, pero su velocidad media es nula (pues no hay desplazamiento; acaba donde empezó).

Aceleración

Definición

Del mismo modo que se define la velocidad como la derivada de la posición respecto al tiempo, se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\dot {\vec {v}}}$

Esto quiere decir que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición respecto al tiempo, lo que se indica con dos puntos sobre la magnitud

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}$

La aceleración, como la velocidad, es un vector. Las componentes cartesianas de la aceleración vienen dadas por las segundas derivadas de las componentes de la posición

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {\imath }}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {\jmath }}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {k}}={\ddot {x}}{\vec {\imath }}+{\ddot {y}}{\vec {\jmath }}+{\ddot {z}}{\vec {k}}$

Si lo que se conocemos es la posición como función de una variable $\theta$, función del tiempo, hallamos la aceleración derivando la expresión correspondiente para la velocidad

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}{\dot {\theta }}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}{\ddot {\theta }}$

Componentes intrínsecas

A diferencia de la velocidad, la aceleración puede formar un ángulo cualquiera con la trayectoria.

Podemos escribir entonces el vector aceleración como suma de dos vectores, uno en la dirección de movimiento, tangente a la velocidad, y un resto perpendicular a ella. Estas dos vectores se denominan aceleración tangencial y aceleración normal.

${\vec {a}}={\vec {a}}_{t}+{\vec {a}}_{n}\,$    ${\vec {a}}_{t}\parallel {\vec {v}}$    ${\vec {a}}_{n}\perp {\vec {v}}$

Hay que destacar que la aceleración tangencial y la normal son vectores, no cantidades escalares. No obstante, también se denominan usualmente de la misma manera a las componentes escalares, esto es

$a_{t}={\vec {a}}\cdot {\vec {T}}$    $a_{n}={\vec {a}}\cdot {\vec {N}}$

Cuando se habla de aceleración tangencial o normal como cantidades escalares, se está dando por supuesto la dirección y el sentido.

Aceleración tangencial

Podemos obtener una expresión para la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre el vector tangente

${\vec {a}}_{t}=\mathrm {proy} _{\parallel {\vec {v}}}({\vec {a}}){\vec {T}}=({\vec {a}}\cdot {\vec {T}}){\vec {T}}={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {a}}){\vec {v}}}{v^{2}}}$

Aceleración normal

Conocida la aceleración y calculada la aceleración tangencial, podemos hallar la aceleración normal simplemente restando

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}$

o bien directamente multiplicando vectorialmente dos veces por el vector velocidad

${\vec {a}}_{n}={\frac {({\vec {v}}\times {\vec {a}})\times {\vec {v}}}{v^{2}}}$

Si solo queremos la componente normal de la aceleración, y no el vector aceleración normal, tomamos módulos en la expresión anterior, resultando la proyección ortogonal de la aceleración sobre la velocidad.

$a_{n}=\mathrm {proy} _{\perp {\vec {v}}}({\vec {a}})=|{\vec {a}}\times {\vec {T}}|={\frac {|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}{v}}$

Interpretación de las componentes

Podemos hallar la aceleración a partir de la expresión de la velocidad como función del parámetro natural

${\vec {v}}={\dot {s}}{\vec {T}}$

derivamos respecto al tiempo

${\vec {a}}={\ddot {s}}{\vec {T}}+{\dot {s}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}$

En la última derivada podemos usar la regla de la cadena, introduciendo el diferencial de arco

${\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}\,{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=\overbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} s}{|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} s|}} ^{={\vec {N}}}\,\overbrace {\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} s}}\right|} ^{=\kappa }\overbrace {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}} ^{={\dot {s}}}={\frac {\dot {s}}{R}}{\vec {N}}$

con lo que la aceleración queda

${\vec {a}}={\ddot {s}}{\vec {T}}+{\frac {{\dot {s}}^{2}}{R}}{\vec {N}}={\ddot {s}}{\vec {T}}+{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {N}}$

En esta expresión, el primer sumando es tangente a la trayectoria y el segundo es normal a ella. Puesto que dos vectores son iguales si lo son cada una de sus componentes, se deduce que la componente tangencial de la aceleración es igual a

$a_{t}={\ddot {s}}$    ${\vec {a}}_{t}={\ddot {s}}{\vec {T}}$

y la normal a

$a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}$    ${\vec {a}}_{n}={\frac {v^{2}}{R}}{\vec {N}}$

Esto nos permite interpretar las componentes intrínsecas de la aceleración de la siguiente forma:

Aceleración tangencial

Es la responsable del cambio de rapidez a lo largo de la trayectoria. Desempeña el mismo papel que la aceleración ${\ddot {x}}$ en el movimiento rectilíneo.

Generalizando el caso del M.R.U.A. Se define un movimiento como uniformemente acelerado cuando su aceleración tangencial es constante

${\mbox{movimiento uniformemente acelerado}}\qquad \Leftrightarrow \qquad a_{t}={\ddot {s}}=\mathrm {cte}$

Aceleración normal

Es responsable del cambio de dirección del movimiento (y por tanto no tiene análogo en el movimiento rectilíneo). Para una celeridad dada, cuanto mayor es la aceleración normal, mayor es la curvatura, menor el radio de curvatura y más cerradas son las curvas que describe la partícula.

Inversamente, si tenemos un movimiento cuya aceleración normal es permanentemente nula, este movimiento es rectilíneo

${\mbox{movimiento rectilineo}}\qquad \Leftrightarrow \qquad a_{n}=0$

Cálculo del vector normal y el binormal

El hecho de que la aceleración normal vaya en la dirección del mismo vector normal calculado previamente en la sección de geometría de curvas proporciona una forma alternativa de calcular este vector. Basta con hallar el unitario en la dirección de esta aceleración

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}={\frac {{\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}}{|{\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}|}}$

Conocidos ${\vec {T}}$ y ${\vec {N}}$ hallamos el vector binormal. Sin embargo, es más simple determinar ${\vec {B}}$ observando que la velocidad y la aceleración instantáneas están contenidas en el plano osculador y por tanto son las dos ortogonales al vector binormal, que puede entonces hallarse normalizando su producto vectorial

${\vec {B}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}$

y el vector normal lo calculamos a partir del tangente y el binormal

${\vec {N}}={\vec {B}}\times {\vec {T}}$

La aceleración normal puede emplearse también para hallar el radio de curvatura

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {v^{3}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}$

y conocidos el radio de curvatura y el vector normal podemos hallar el centro de curvatura según la fórmula que indicamos anteriormente.

Ejemplos de movimientos

Además de los movimientos rectilíneos considerados anteriormente, existen otros movimientos tridimensionales de interés.

Tiro parabólico

El movimiento parabólico, característico del tiro de un proyectil, se caracteriza por tener una aceleración constante debida a la gravedad

${\vec {a}}={\vec {g}}=-g{\vec {k}}$

(tomando como eje Z el perpendicular al suelo y dirigido hacia arriba). Integrando esta ecuación una vez obtenemos la velocidad instantánea

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {g}}t$

y una nueva integración nos da la posición instantánea:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {g}}t^{2}$

Este movimiento es plano, ya que su vector binormal es constante

${\vec {B}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}={\frac {{\vec {v}}_{0}\times {\vec {g}}}{|{\vec {v}}_{0}\times {\vec {g}}|}}$

Si tomamos el eje X como el que pertenece al plano de movimiento podemos escribir la posición instantánea como

${\vec {r}}=(x_{0}+v_{x0}t){\vec {\imath }}+\left(z_{0}+v_{z0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\right){\vec {k}}$

Esta ecuación puede leerse como que el movimiento parabólico es una superposición de un movimiento uniforme en la dirección horizontal y uno uniformemente acelerado en la dirección vertical.

Eliminando el tiempo entre las dos coordenadas obtenemos una ecuación para la trayectoria

$t={\frac {x-x_{0}}{v_{x0}}}$ ⇒  $z=z_{0}+{\frac {v_{z0}}{v_{x0}}}(x-x_{0})-{\frac {g}{2v_{x0}^{2}}}(x-x_{0})^{2}$

Al tratarse de un polinomio de segundo grado, es claro que la trayectoria es una parábola dirigida hacia abajo.

Aunque la aceleración sea constante, tanto la aceleración tangencial como la normal son funciones del tiempo. La celeridad de la partícula disminuye al ascender y vuelve a aumentar al descender, alcanzando su mínimo en el vértice de la parábola. En este punto, la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es puramente normal.

Circular

Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica que

• El movimiento es plano: Existe un vector constante ${\vec {B}}$ tal que

${\vec {B}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=0\qquad \forall t$

• El radio de curvatura permanece constante:

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}=\mathrm {cte} \qquad \forall t$

Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:

• El centro de curvatura permanece constante:

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}={\vec {r}}+{\frac {v^{2}}{a_{n}^{2}}}{\vec {a}}_{n}=\mathrm {cte}$

Por tanto, dadas la ecuación horaria del movimiento o, más en general, la trayectoria en función de cualquier parámetro, si calculamos el centro de curvatura y resulta un vector constante el movimiento es circular, aunque en la expresión no sea evidente.

Velocidad angular

En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que

$\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right|=R$

en el caso particular de un movimiento circular $R$ y ${\vec {r}}_{c}$ son constantes, por lo que si elevamos al cuadrado esta expresión

$\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right|^{2}=({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})=R^{2}$

y derivamos respecto al tiempo

$0={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(R^{2})=2{\vec {v}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro de la circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}\right)$

donde ${\vec {\omega }}$ es la velocidad angular. Es un vector perpendicular al plano de la trayectoria circular y con un sentido tal que se verifica la regla de la mano derecha respecto al giro (si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección del giro, el pulgar marca la dirección y sentido de la velocidad angular).

La velocidad angular posee dimensiones de 1/T, con lo que en el sistema internacional se mide en s^-1 o rad/s.

Por tratarse de vectores ortogonales, tenemos la relación entre módulos

$v=\omega |{\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}|=\omega R$

Más en general, puesto que a ${\vec {r}}_{c}$ le podemos sumar cualquier vector paralelo a ${\vec {\omega }}$ y la velocidad resultante no se ve modificada, podemos escribir la velocidad como

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)$

donde

${\vec {r}}_{e}={\vec {r}}_{c}+\lambda {\vec {\omega }}$

es un punto arbitrario del eje de giro, que es aquél que pasa por el centro de la circunferencia y posee la dirección dada por la velocidad angular.

Aceleración angular

Derivando en la expresión anterior para la velocidad

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}={\vec {\alpha }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}={\vec {\alpha }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)\right)$

El vector

${\vec {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}$

es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son rad/s².

Componentes intrínsecas

La aceleración en un movimiento circular se puede escribir como

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

Puesto que la velocidad angular y la aceleración angular son vectores paralelos, el primer sumando es paralelo a la velocidad de la partícula, mientras que el segundo es ortogonal a ella. Por tanto, la aceleración tangencial y la normal en un movimiento circular son, respectivamente

${\vec {a}}_{t}={\vec {\alpha }}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e}\right)$    ${\vec {a}}_{n}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$

y, puesto que ${\vec {\omega }}$ y ${\vec {v}}$ son vectores ortogonales, tenemos la relación entre módulos

$a_{n}=\omega v=\omega ^{2}R\,$

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante

$v=v_{0}=\mathrm {cte} \qquad \Leftrightarrow \qquad {\vec {a}}_{t}={\vec {0}}$

En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está cambiando. La aceleración es puramente normal

${\vec {a}}={\vec {a}}_{n}={\frac {v_{0}^{2}}{R}}{\vec {N}}$

lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de la circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de módulo constante se cumple

${\vec {a}}={\frac {v^{2}}{R^{2}}}R{\vec {N}}=-{\frac {v^{2}}{R^{2}}}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante

${\vec {\omega }}={\frac {v}{R}}{\vec {B}}$

y la aceleración angular es nula

${\vec {\alpha }}={\vec {0}}$

La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como

${\vec {a}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c}))=-\omega ^{2}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{c})$

Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el tiempo necesario para dar una vuelta completa

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia natural

$f={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}$

Movimiento en el plano XY

Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY. En este caso la ecuación de la trayectoria se reduce a

${\vec {r}}=R\cos(\theta ){\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}$

La ley horaria la da la variación de la coordenada acimutal

$\theta =\theta (t)\,$

La velocidad de un movimiento circular expresado de esta forma es

${\vec {v}}=R{\dot {\theta }}\left(-\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\right)$

siendo la celeridad y el vector tangente

$v=R{\dot {\theta }}$    ${\vec {T}}=-\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}$

El parámetro arco vale

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=v=R{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$ ⇒  $s=s_{0}+R\theta \,$

La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla vectorialmente por ${\vec {r}}$ resulta la velocidad. Esto da

${\vec {\omega }}={\dot {\theta }}{\vec {k}}$

La aceleración de la partícula es

${\vec {a}}=R{\ddot {\theta }}\left(-\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\right)+R{\dot {\theta }}^{2}\left(-\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}\right)$

con componentes intrínsecas

${\vec {a}}_{t}=R{\ddot {\theta }}{\vec {T}}$    ${\vec {a}}_{n}=R{\dot {\theta }}^{2}{\vec {N}}$

con el vector normal

${\vec {N}}=-\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}=-{\frac {\vec {r}}{R}}$

Por último, la aceleración angular viene dada por

${\vec {\alpha }}={\ddot {\theta }}{\vec {k}}$

Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a

$\theta =\omega t+\theta _{0}\,$

con $\omega$ constante.

Helicoidal

Una hélice es una curva tridimensional en la cual se produce un movimiento de giro en torno a un eje simultáneamente a un avance en la dirección paralela a dicho eje. Si tomamos el eje de la hélice como eje $Z$, las ecuaciones paramétricas de la hélice son

${\vec {r}}=A\cos(\theta ){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,(\theta ){\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}\theta {\vec {k}}$

Cuando la partícula efectúa una revolución completa en torno al eje $Z$ (el parámetro $\theta$ varía en $2\pi$), al mismo tiempo avanza una cantidad $b$ en la dirección del eje $Z$. Este $b$ es el denominado paso de rosca de la hélice. Empleando distancias tenemos que, mientras que la proyección del punto sobre el plano $OXY$ describe una circunferencia de longitud $2\pi A$, su proyección sobre el eje $Z$ asciende una cantidad $b$, con lo cual la inclinación de la hélice es

$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {b}{2\pi A}}$

Un movimiento helicoidal es entonces uno que recorre una porción de hélice en el tiempo (no necesariamente de manera uniforme).

La velocidad de una partícula en un movimiento helicoidal se obtiene derivando respecto al tiempo (no respecto a $\theta$, esta variable también debe ser derivada)

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}\left(-A\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+A\cos(\theta ){\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}{\vec {k}}\right)$

La velocidad en un movimiento helicoidal puede expresarse como la suma de una componente paralela al eje (deslizamiento) y otra componente perpendicular a él de tipo circular

${\vec {v}}={\vec {v}}_{d}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

donde

${\vec {v}}_{d}={\frac {b}{2\pi }}{\dot {\theta }}{\vec {k}}$    ${\vec {\omega }}={\dot {\theta }}{\vec {k}}$

Vemos que la velocidad de deslizamiento es paralela a la velocidad angular y existe una proporcionalidad constante entre ambas

${\vec {v}}_{d}={\frac {b}{2\pi }}{\vec {\omega }}$

Equivalentemente, si lo que conocemos son la velocidad angular y de deslizamiento de un movimiento helicoidal, podemos determinar su paso de rosca a partir del cociente entre sus módulos.

La celeridad en un movimiento helicoidal vale

$v=|{\vec {v}}|={\sqrt {A^{2}{\dot {\theta }}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\theta )+A^{2}{\dot {\theta }}^{2}\cos ^{2}(\theta )+{\frac {b^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}={\dot {\theta }}{\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}={\frac {A{\dot {\theta }}}{\cos(\alpha )}}$

Dado que existe una proporcionalidad entre la celeridad y la derivada temporal del parámetro $\theta$, podemos obtener de forma inmediata la parametrización natural de la hélice

$s=s_{0}+\int _{0}^{t}v\,\mathrm {d} t=s_{0}+{\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\int _{0}^{t}{\dot {\theta }}\,\mathrm {d} t=s_{0}+{\sqrt {A^{2}+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\theta =s_{0}+{\frac {A\theta }{\cos(\alpha )}}$

Normalizando la velocidad se obtiene el vector tangente a una hélice, como función del parámetro $\theta$

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{v}}=-{\frac {2\pi A}{\sqrt {(2\pi A)^{2}+b^{2}}}}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+{\frac {2\pi A}{\sqrt {(2\pi A)^{2}+b^{2}}}}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}+{\frac {b}{\sqrt {(2\pi A)^{2}+b^{2}}}}{\vec {k}}$

o, más sencillamente, si introducimos el ángulo de inclinación $\alpha$

${\vec {T}}=-\cos(\alpha )\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\alpha )\cos(\theta ){\vec {\jmath }}+\,\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}}$

A partir de este vector tangente se obtiene el vector normal, que es puramente horizontal

${\vec {N}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta }{|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta |}}=-\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}$

y la curvatura y el radio de curvatura de la hélice

$\kappa ={\frac {|\mathrm {d} {\vec {T}}/\mathrm {d} \theta |}{|\mathrm {d} s/\mathrm {d} \theta |}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha )}{A}}$    $R={\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{\cos ^{2}\alpha }}=A+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}A}}$

Este radio de curvatura es mayor que el del cilindro sobre el cual se encuentra la hélice, como corresponde a que una vuelta de una hélice se pueda interpretar como una espira circular que se ha estirado a lo largo del eje de la hélice.