Diferencia entre revisiones de «Teoremas del seno y del coseno»
(Página creada con «==Enunciado== right Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno <center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)</math></center> y del seno <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center> en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>…») |
(Sin diferencias)
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Revisión actual - 19:16 8 ene 2024
Enunciado
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
y del seno
en un triángulo de lados , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y , y ángulos opuestos , y .
Teorema del coseno
Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial
o, equivalentemente
Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
Desarrollando el producto escalar
El ángulo que forman los vectores y es por lo que finalmente obtenemos
que es el teorema del coseno.
Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.
Teorema del seno
El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto
Desarrollando los módulos de los productos vectoriales
Dividiendo por el producto y multiplicando por 2 nos queda
que es el teorema del seno.