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Rotaciones finitas sucesivas de 90° (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 24: Línea 24:
<center><math>R_x=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\qquad\qquad R_y=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad\qquad R_z=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 &  0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}</math></center>
<center><math>R_x=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\qquad\qquad R_y=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad\qquad R_z=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 &  0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}</math></center>
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Cuando las rotaciones son de &minus;90° las matrices correspondientes son las inversas, que en el caso de una rotación coinciden con las traspuestas.
==Primer caso==
==Primer caso==
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Si primero giramos en torno a <math>{OY}_1</math> y en segundo lugar alrededor de <math>{OX}_1</math>, ambos del mismo sistema fijo, las matrices deben multiplicarse con la primera rotación a la derecha
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<center><math>R=R_x\cdotR_y = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}</math></center>
==Segundo caso==
==Segundo caso==
==Tercer caso==
==Tercer caso==
==Cuarto caso==
==Cuarto caso==

Revisión de 18:21 28 nov 2020

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

  1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY1 y a continuación +90° en torno a OX1. ¿Cuál es la matriz de rotación que permite pasar de las coordenadas (X,Y,Z) en la posición final del sistema ligado a las coordenadas en el sistema fijo (x,y,z)? ¿Cuál es el eje de rotación de la composición? ¿Cuál es el ángulo girado?
  2. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a OX1 y a continuación +90° en torno a OY1?
  3. ¿Cómo cambian los resultados anteriores si, partiendo de la posición inicial se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY1 y a continuación +90° en torno a OX2?
  4. Si se realizan las dos rotaciones del apartado (a) (1º +90° en torno a OY1; 2º +90° en torno a OX1) y a continuación se gira −90° en torno a OY1 seguido de −90° en torno a OX1, ¿vuelve el sólido a su posición inicial? Si no es así, ¿cuál es el eje de rotación y el ángulo girado?

2 Introducción

En este problema tenemos una sucesión de rotaciones de 90°. Estas relaciones se pueden analizar viendo como se transforman las bases o mediante métodos matriciales.

En general, para una rotación alrededor del eje OX tenemos la siguiente matriz de rotación que nos da las coordenadas en el sistema dijo partiendo de las que tiene en el sistema ligado

R_x(\phi)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & -\mathrm{sen}(\phi) \\ 0 & \mathrm{sen}(\phi) & \cos(\phi)\end{pmatrix}

Para una rotación en torno a OY

R_y(\phi)=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & 0 & \mathrm{sen}(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\mathrm{sen}(\phi) & 0 & \cos(\phi)\end{pmatrix}

y para una en torno a OZ

R_z(\phi)=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\mathrm{sen}(\phi) & 0 \\ \mathrm{sen}(\phi) &  \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

En el caso particular de rotaciones de +90°, esta matrices se reducen a

R_x=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\qquad\qquad R_y=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad\qquad R_z=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 &  0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Cuando las rotaciones son de −90° las matrices correspondientes son las inversas, que en el caso de una rotación coinciden con las traspuestas.

3 Primer caso

Si primero giramos en torno a OY1 y en segundo lugar alrededor de OX1, ambos del mismo sistema fijo, las matrices deben multiplicarse con la primera rotación a la derecha

No se pudo entender (función desconocida\cdotR): R=R_x\cdotR_y = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

4 Segundo caso

5 Tercer caso

6 Cuarto caso

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