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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado = | | == Enunciado == |
| [[Archivo:MRGIC-cilindroRodaduraSinDeslizamiento-enunciado.png|center]]
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| Un cilindro de radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Los ejes <math>GX_2Y_2Z_2</math> son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares <math>GX_0Y_0Z_0</math> que cumplen las siguientes propiedades: el <math>X_0</math> es paralelo al eje del cilindro; el eje <math>Z_0</math> es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje <math>Y_0</math> con el eje <math>X_1</math> es <math>\phi</math>. El punto <math>A</math> señala el punto geométrico en la vertical de <math>G</math> donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son <math>x_1</math>, <math>y_1</math>. Estas son también las coordenadas de <math>G</math> en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.
| | Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones |
| #Encuentra la reducción cinemática en el punto <math>G</math> de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.
| | #<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math> |
| 2. Si el tensor de inercia del cilindro en <math>G</math> es de la forma
| | #<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math> |
| <center>
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| <math> | |
| \overleftrightarrow{I_O} | |
| =
| |
| \left[ | |
| \begin{array}{ccc} | |
| I_{1} & 0 & 0 \\
| |
| 0 & I_{2} & 0 \\
| |
| 0 & 0 & I_{2}
| |
| \end{array}
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| \right]_2
| |
| </math>
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| </center>
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| con <math>I_1</math>, <math>I_2</math> conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en <math>G</math> y su energía cinética.
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| = Solución =
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| == Reducciones cinemáticas en <math>G</math> ==
| | siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>; |
| De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos:
| | pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>. |
| # <math>\vec{v}^A_{21} = \vec{0}</math>, pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1".
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| #<math>\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> , pues el eje <math>Y_0</math> forma un ángulo <math>\phi</math> con el eje <math>X_1</math>.
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| #<math>\vec{v}^G_{20}=\vec{0}</math>, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
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| #<math>\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0</math>, pues el eje <math>Y_2</math> forma un ángulo <math>\theta</math> con el eje <math>Y_0</math>.
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| Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas
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| === Movimiento {21} ===
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| Obtenemos <math>\vec{\omega}_{21}</math> de la composición
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =
| |
| \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Como ya tenemos <math>\vec{v}^{A}_{21}=\vec{0}</math>, aplicamos Chasles entre los puntos <math>A</math> y <math>G</math> para el movimiento {21}
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =
| |
| (\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0)\times
| |
| (R\,\vec{k}_0) = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.
| |
| </math> | |
| </center>
| |
| === Movimiento {20} ===
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| Este lo tenemos directamente del análisis del enunciado
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0, \qquad
| |
| \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
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| === Movimiento {01} === | | == Solución == |
| Tenemos <math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> del análisis del enunciado. Obtenemos la velocidad en <math>G</math> usando las leyes de composición
| | De la primera condición tenemos que <math>\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}</math> |
| <center>
| | con <math>{\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0</math>. Si ahora multiplicamos |
| <math> | | vectorialmente por <math>\vec{A}</math> tenemos |
| \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}
| |
| \to
| |
| \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,G}_{21} - \vec{v}^{\,G}_{20} | |
| = | |
| -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.
| |
| </math> | |
| </center>
| |
| La velocidad <math>\vec{v}^{\,G}_{01}</math> también se puede obtener derivando respecto al tiempo el vector de posición
| |
| <center> | | <center> |
| <math> | | <math> |
| \vec{r}^{\,G}_{01} = \overrightarrow{O_1G} = | | \vec{A}\times\vec{B} = |
| x_1\,\vec{\imath}_1 + y_1\,\vec{\jmath}_1 + R\,\vec{k}_1.
| | \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})= |
| | \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to |
| | \vec{A}\times\vec{D} = 0. |
| </math> | | </math> |
| </center> | | </center> |
| Este vector de posición se puede derivar porque apunta siempre al centro del cilindro. Haciendo la derivada tenemos
| | Es decir, <math>\vec{D}</math> es a la vez perpendicular y paralelo a |
| <center>
| | <math>\vec{A}</math>. Esto sólo puede ocurrir si <math>\vec{D}=0</math>. |
| <math> | |
| \vec{v}^{\,G}_{01} = | |
| \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{O_1G}}{\mathrm{d}t} \right|_1
| |
| =
| |
| \dot{x}_1\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}_1\,\vec{\jmath}_1.
| |
|
| |
|
| </math>
| | Si la segunda condición no se cumple, entonces |
| </center>
| | <math>\vec{A}\times\vec{D} \neq 0</math>, por lo que <math>\vec{D}</math> es |
| Esta velocidad esta expresada en función de <math>x_1</math> e <math>y_1</math>- Hay una ligadura entre estas coordenadas y las coordenadas angulares. Para verla expresamos <math>\vec{\jmath}_0</math> en la base "1"
| | distinto de cero, con lo cual <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>. |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\jmath}_0 = \cos\phi\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Con esto tenemos
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| <center>
| |
| <math> | |
| \vec{v}^{\,G}_{01} | |
| =
| |
| -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0
| |
| =
| |
| -R\dot{\theta}\cos\phi\,\vec{\imath}_1
| |
| -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math> | |
| </center>
| |
| Comparando las dos expresiones de <math>\vec{v}^{\,G}_{01}</math> obtenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{x}_1 = -R\dot{\theta}\cos\phi, \qquad
| |
| \dot{y}_1 = -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\phi.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| == Momento angular y energía cinética ==
| |
| | |
| El momento angular respecto al CM es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_G = \overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21}.
| |
| \begin{array}{c}\end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Como el tensor está expresado en la base "2", hay que expresar el vector rotación en esa base. Tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{\imath}_0 = \vec{\imath}_2,\\
| |
| \vec{k}_0 = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 + \cos\theta\,\vec{k}_2.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Entonces
| |
| <center>
| |
| <math> | |
| \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_2 + | |
| \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 + \dot{\phi}\cos\theta\,\vec{k}_2.
| |
| </math> | |
| </center>
| |
| El momento cinético es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_G
| |
| =
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| I_{1} & 0 & 0 \\
| |
| 0 & I_{2} & 0 \\
| |
| 0 & 0 & I_{2}
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| \dot{\theta} \\ \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta \\ \dot{\phi}\cos\theta
| |
| \end{array}
| |
| \right]_2
| |
| =
| |
| [I_1\dot{\theta}, I_2 \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta, I_2 \dot{\phi}\cos\theta
| |
| ]_2.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía cinética puede calcularse así
| |
| <center>
| |
| <math> | |
| T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} =
| |
| \dfrac{1}{2}\,
| |
| \left(
| |
| (mR^2+I_1)\dot{\theta}^2 + I_2\dot{\phi}^2
| |
| \right).
| |
| </math> | |
| </center>
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