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| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado == | | == Enunciado == |
| [[Imagen:F1_GIA_ventiladores_enunciado.png|right]]
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| Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (<math>A</math> y <math>B</math>) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto <math>O</math>). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a <math>\omega</math>, con las orientaciones y sentidos dados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido "1") del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determina:
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| # Los vectores <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>. Los vectores <math>\vec{v}_{20}^O</math> y <math>\vec{a}_{20}^O</math>.
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| # El eje instantáneo de rotación.
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| "'Nota:"' Se recomienda usar el triedro "1" y su base vectorial para resolver el ejercicio.
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| == Solución ==
| | Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones |
| ===Vectores <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math> ===
| | #<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math> |
| | #<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math> |
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| | siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>; |
| | pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>. |
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| En este problema se usa el sólido "1", en reposo absoluto, como
| | == Solución == |
| sólido intermedio. Es decir, usaremos la composición
| | De la primera condición tenemos que <math>\vec{B}=\vec{C}+\vec{D}</math> |
| <center><math>
| | con <math>{\vec{D}}\cdot{\vec{A}}=0</math>. Si ahora multiplicamos |
| \{20\}=\{21\}+\{10\}
| | vectorialmente por <math>\vec{A}</math> tenemos |
| </math></center>
| | <center> |
| Los datos cinemáticos proporcionados por el
| | <math> |
| enunciado son, expresados en la base del sólido "1",
| | \vec{A}\times\vec{B} = |
| <center><math>
| | \vec{A}\times(\vec{C}+\vec{D})= |
| \vec{\omega}_{01}=-\omega\,\vec{\jmath}_1\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_1
| | \vec{A}\times\vec{C}+\vec{A}\times\vec{D}\to |
| </math></center> | | \vec{A}\times\vec{D} = 0. |
| Podemos calcular las aceleraciones angulares derivando en el tiempo,
| | </math> |
| pues los ejes de giro de cada ventilador son permanentes
| | </center> |
| <center><math>
| | Es decir, <math>\vec{D}</math> es a la vez perpendicular y paralelo a |
| \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\qquad
| | <math>\vec{A}</math>. Esto sólo puede ocurrir si <math>\vec{D}=0</math>. |
| \vec{\alpha}_{21}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}
| |
| </math></center> | |
| La velocidad y aceleración angulares pedidas son
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\omega\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\\
| |
| \\
| |
| \vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}=
| |
| \vec{\alpha}_{21}-\vec{\alpha}_{01}-\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{21}=-\omega^2\,\vec{k}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math></center> | |
| | |
| | |
| ===Vectores <math>\vec{v}_{20}^O</math> y <math>\vec{a}_{20}^O</math> ===
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| Vamos a determinar la velocidad y aceleración en cada uno de los
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| movimientos de la composición.
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| ==== Movimiento {01} ====
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| El punto <math>A</math> es un punto fijo de la rotación {01}, pues está en el eje
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| permanente de rotación. Entonces
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| <center><math>
| |
| \vec{v}_{01}^A=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^A=\vec{0} | |
| </math></center>
| |
| A partir de aquí podemos calcular <math>\vec{v}_{01}^O</math> y <math>\vec{a}_{01}^O</math>
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l} | |
| \overrightarrow{AO}=-L\,\vec{\imath}_1 \\ \\
| |
| \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^A+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AO}=-L\omega\,\vec{k}_1\\ \\
| |
| \vec{a}_{01}^O=\vec{a}_{01}^A+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AO})=L\omega^2\,\vec{\imath}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
| |
| | |
| ==== Movimiento {21} ====
| |
| El punto <math>B</math> es un punto fijo de la rotación {21}, pues está en el eje
| |
| permanente de rotación. Entonces
| |
| <center><math>
| |
| \vec{v}_{21}^B=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{21}^B=\vec{0} | |
| </math></center> | |
| A partir de aquí podemos calcular <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{a}_{21}^O</math>
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \overrightarrow{BO}=-L\,\vec{\jmath}_1 \\ \\
| |
| \vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{21}^B+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=-L\omega\,\vec{k}_1\\ \\
| |
| \vec{a}_{21}^O=\vec{a}_{21}^B+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})=L\omega^2\,\vec{\jmath}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math></center> | |
| | |
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| Ahora podemos calcular los vectores pedidos. Veamos <math>\vec{v}_{20}^O</math> en
| | Si la segunda condición no se cumple, entonces |
| primer lugar
| | <math>\vec{A}\times\vec{D} \neq 0</math>, por lo que <math>\vec{D}</math> es |
| <center><math>
| | distinto de cero, con lo cual <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>. |
| \vec{v}_{20}^O=\vec{v}_{21}^O+\vec{v}_{10}^O=\vec{v}_{21}^O-\vec{v}_{01}^O=\vec{0}
| |
| </math></center> | |
| Para la aceleración tenemos
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| <center><math>
| |
| \vec{a}_{20}^O=\vec{a}_{21}^O+\vec{a}_{10}^O+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}_{21}^O
| |
| </math></center> | |
| Aquí hay que tener cuidado, pues en general
| |
| <math>\vec{a}_{ij}\neq\vec{a}_{ji}</math>, como hemos usado en los casos anteriores. Por | |
| ello, vamos a usar la descomposición {21}={20}+{01}
| |
| <center><math>
| |
| \begin{array}{c}
| |
| \vec{a}_{21}^O=\vec{a}_{20}^O+\vec{a}_{01}^O+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^O\Rightarrow\\ \\
| |
| \vec{a}_{20}^O =
| |
| \vec{a}_{21}^O-\vec{a}_{01}^O-2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^O=L\omega^2(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)
| |
| \end{array}
| |
| </math></center>
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| ===Eje instantáneo de rotación ===
| | [[Categoría:Vectores libres|0]] |
| [[Imagen:F1_GIA_ventiladores_vectores.png|right]] | | [[Categoría:Física I (G.I.A.)]] |
| Como <math>\vec{v}_{20}^O=\vec{0}</math>, el punto <math>O</math> esta en el eje. Entonces su
| | [[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]] |
| ecuación paramétrica es
| | [[Categoría:Física I (G.I.C.)]] |
| <center><math>
| |
| \Delta_{\mathrm{EIR}}^{20}\quad\equiv\quad \overrightarrow{OI}\,=\lambda\,\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)
| |
| </math></center>
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| [[Categoría:Problemas de movimiento relativo]] | |
