(Página creada con «==Enunciado== Una partícula está sometida exclusivamente a la acción de la gravedad. Si se lanza con velocidad <math>+v_0</math> en dirección vertical hacia arriba desde un punto de altura <math>h</math>. ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo? Si en vez de lanzarse hacia arriba se lanza hacia abajo, con velocidad <math>-v_0</math>, ¿llegará con una rapidez mayor? ==Solución== Este problema puede resolverse de diferentes maneras. La partícula sigue un…»)
 
Sin resumen de edición
 
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==Enunciado==
table.bordeado{
Una partícula está sometida exclusivamente a la acción de la gravedad. Si se lanza con velocidad <math>+v_0</math> en dirección vertical hacia arriba desde un punto de altura <math>h</math>. ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo? Si en vez de lanzarse hacia arriba se lanza hacia abajo, con velocidad <math>-v_0</math>, ¿llegará con una rapidez mayor?
    border-spacing:0;
    margin:auto;
    border:1px solid #003300;
}


==Solución==
table.bordeado td{
Este problema puede resolverse de diferentes maneras.
    background-color:#FFFFFF;
    border:2px solid #DD3300;
    vertical-align: middle;
    width: 8em;
  text-align:center;
  padding:5px;
}


La partícula sigue un movimiento uniformemente acelerado en el que la aceleración es la de la gravedad. Las ecuaciones para la posición y la velocidad en función del tiempo son
table.bordeado th{
    background-color:#FFFFFF;
    border:2px solid #0033DD;
    vertical-align: middle;
  text-align:center;
  padding:5px;
}


<center><math>z = h + v_0 t -\frac{1}{2}gt^2\qquad\qquad v = v_0-gt</math></center>
categorytree.arbol{
  float:right;
  margin-left:1ex;
  border:1px solid gray;
  padding:0.7ex;
  background-color:#FFDDDD;
  font-size:90%
}


La condición de impacto la da el que la posición llegue a <math>z=0</math>. Esto conduce a una ecuación de segundo grado para <math>t</math>
input[type="text"]
{
    font-size:16px;
    font-family:"Lucida Console","Courier New",Courier;
}


<center><math>0 = h + v_0 t_i -\frac{1}{2}gt_i^2 \qquad\Rightarrow\qquad t_i = \frac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}{g}</math></center>
textarea
{
    font-size:14px;
    font-family:"Lucida Console","Courier New",Courier;
}


donde hemos descartado la solución con el signo negativo, ya que conduce a un tiempo menor que cero. Llevando esto a la ecuación de la velocidad queda
.anotacion{
 
background-color:#DD;
<center><math>v_i = v_0 - gt_i = -\sqrt{v_0^2+2gh}</math></center>
margin-left:1em;
 
padding:0.5em 1em;
Resulta una velocidad negativa porque la partícula está descendiendo. La rapidez de impacto será
}
 
<center><math>|v|_i = \sqrt{v_0^2+2gh}</math></center>
 
Podemos ahorrarnos la resolución de la ecuación de segundo grado observando si elevamos al cuadrado la ecuación de la velocidad
 
<center><math>v^2 = v_0^2 -2gv_0t + g^2 t^2 = v_0^2 - 2g\left(v_0t-\frac{1}{2}gt^2\right)</math></center>
 
pero lo que está entre paréntesis es <math>z - h</math>, así que llegamos a la igualdad
 
<center><math>v^2 = v_0^2 -2g(z-h)</math></center>
 
que particularizada para el momento de impacto nos da
 
<center><math>v_i^2 = v_0^2 + 2gh\qquad\Rightarrow\qquad |v|_i=\sqrt{v_0^2+2gh}</math></center>
 
Este segundo procedimiento es un caso particular de la fórmula
 
<center><math>a = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}z}\left(\frac{v^2}{2}\right)</math></center>
 
que para el caso de una aceleración constante equivale al cociente entre incrementos
 
<center><math>g=\frac{\mathrm{d}(v^2/2) }{\mathrm{d}z}=\frac{\Delta(v^2/2)}{\Delta z}=\frac{v_2^2-v_1^2}{2(z_2-z_1)}</math></center>
 
cuyo resultado es inmediato
 
<center><math>g = \frac{v_i^2-v_0^2}{2h}\qquad\Rightarrow\qquad |v|_i=\sqrt{v_0^2 + 2gh}</math></center>
 
Vemos que el resultado es independiente del signo de <math>v_0</math>. Por tanto, si la piedra es lanzada hacia arriba en vez de hacia abajo, el resultado es el mismo. Eso sí, la piedra que va hacia arriba tarda más en llegar al suelo.
 
[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIOI)]]

Revisión del 22:34 21 sep 2023

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    border:2px solid #DD3300;
    vertical-align: middle;
    width: 8em;
  text-align:center;
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}

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    background-color:#FFFFFF; 
    border:2px solid #0033DD;
    vertical-align: middle;
  text-align:center;
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}

categorytree.arbol{
  float:right; 
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  border:1px solid gray; 
  padding:0.7ex; 
  background-color:#FFDDDD;
  font-size:90%
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input[type="text"]
{
    font-size:16px;
    font-family:"Lucida Console","Courier New",Courier;
}

textarea
{
    font-size:14px;
    font-family:"Lucida Console","Courier New",Courier;
}

.anotacion{
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