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Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

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==Coseno y seno de una diferencia==
 
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A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.
 
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==Construcción de una base==
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::¿Cuál es su expresión en la base <math>\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}</math>
::¿Cuál es su expresión en la base <math>\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}</math>
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==Ejemplo de operaciones con dos vectores==
==Ejemplo de operaciones con dos vectores==
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# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.
# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.
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==Coseno y seno de una diferencia==
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A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.
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==Propiedades de un triángulo==
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Dado el triángulo de vértices O(0,0,0), A(0.15,0.60,-0.20) y B(0.42,0.00,-0.56) (en m), calcule (a) su perímetro, (b) su área, (c) su vector superficie, (d) la longitud de la altura perpendicular al lado OB
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==Ángulo entre diagonales==
==Ángulo entre diagonales==
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.
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==Distancia de un vértice a un plano==
==Distancia de un vértice a un plano==
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==Determinación de un vector a partir de sus proyecciones==
==Determinación de un vector a partir de sus proyecciones==
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Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?
Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?
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==Cálculo de las componentes de un vector==
==Cálculo de las componentes de un vector==
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Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?
Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?
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==Base vectorial girada==
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Considere la terna de vectores
Considere la terna de vectores
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\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad
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\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \qquad
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\vec{u}_2 =
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-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad
+
-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1 \qquad
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\vec{u}_3 = \vec{k}
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\vec{k}_2 = \vec{k}_1
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# Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
# Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
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# Halle la transformación inversa, es decir, exprese <math>\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}</math> como combinación de <math>\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}</math>.
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# Halle la transformación inversa, es decir, exprese <math>\{\vec{\imath}_1,\vec{\jmath}_1,\vec{k}_1\}</math> como combinación de <math>\{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2\}</math>.
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# Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}</math> en la nueva base.
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# Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}_1+5\vec{\jmath}_2</math> en la nueva base.
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==Base vectorial girada en el espacio==
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Dados los vectores
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<center><math>\vec{\imath}_2=-0.60\vec{\imath}_1+0.80\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{\jmath}_2=0.64\vec{\imath}_1-0.60\vec{\jmath}_1+0.48\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{k}_2=0.48\vec{\imath}_1+0.80\vec{\jmath}_1+0.36\vec{k}_1</math></center>
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# Pruebe que se trata de una base ortonormal dextrógira.
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# Exprese el vector <math>\vec{F}=\vec{\imath}_1+2\vec{\jmath}_1+2\vec{k}_1</math> y el vector <math>\vec{G}=4\vec{\imath}_1+3\vec{k}_1</math> en la base <math>\{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2 \}</math>
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# Compruebe que el módulo <math>|\vec{F} |</math> tiene el mismo valor en ambas bases.
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# Compruebe que el producto escalar <math>\vec{F}\cdot\vec{G}</math> tiene el mismo valor calculado en ambas bases.
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[[Base vectorial girada|Solución]]
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[[Base vectorial girada en el espacio (GIOI)|'''Solución''']]
==Desplazamiento de un momento==
==Desplazamiento de un momento==
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# ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de <math>\vec{v}</math>?
# ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de <math>\vec{v}</math>?
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[[Desplazamiento de un momento|Solución]]
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[[Desplazamiento de un momento|'''Solución''']]

Revisión de 19:34 12 oct 2021

Contenido

1 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.

Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png

Solución

2 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

3 Puntos medios de un cuadrilátero

Sea un cuadrilátero ABCD arbitrario. Demuestre que el cuadrilátero que une los puntos medios de los lados de ABCD es un paralelogramo.

Solución

4 Diagonales de un rombo

Sea un rombo ABCD. Demuestre que sus diagonales son ortogonales entre sí.

Solución

5 Producto por el vector normal al plano

Sea \vec{F} un vector del plano OXY. ¿Cuál es el módulo, dirección y sentido del vector \vec{k}\times\vec{F}? ¿Y el del vector \vec{k}\times(\vec{k}\times\vec{F})?

Solución

6 Altura de un triángulo

Sea un triángulo ABC. Demuestre que la longitud de la altura h perpendicular a AB mide \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|/\left|\overrightarrow{AB}\right|

Solución

7 Construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}, tal que

  1. El primer vector, \vec{T}, vaya en la dirección y sentido de \vec{v}
  2. El segundo, \vec{N}, esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a} y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de \vec{v}) que el vector \vec{a}.
  3. El tercero, \vec{B}, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
  4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
\vec{F}=-12\vec{k}
¿Cuál es su expresión en la base \left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}

Solución

8 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}
  1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
  2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
  3. Escriba \vec{a} como suma de dos vectores, uno paralelo a \vec{v} y otro ortogonal a él.

Solución

9 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Archivo:diferencia-angulos.png

Solución

10 Propiedades de un triángulo

Dado el triángulo de vértices O(0,0,0), A(0.15,0.60,-0.20) y B(0.42,0.00,-0.56) (en m), calcule (a) su perímetro, (b) su área, (c) su vector superficie, (d) la longitud de la altura perpendicular al lado OB

Solución

11 Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

12 Distancia de un vértice a un plano

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

Solución

13 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, \vec{A} y uno que se desea determinar, \vec{X}. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por \vec{A}

\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}

Determine el valor de \vec{X}. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?

Solución

14 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza \vec{F}_1 se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Solución

15 Base vectorial girada en el plano

Considere la terna de vectores

\vec{\imath}_2 =
\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \qquad
\vec{\jmath}_2 =
-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1 \qquad
\vec{k}_2 = \vec{k}_1
  1. Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
  2. Halle la transformación inversa, es decir, exprese \{\vec{\imath}_1,\vec{\jmath}_1,\vec{k}_1\} como combinación de \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2\}.
  3. Para el caso particular en que tg(θ) = 3 / 4, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector \vec{F}=10\vec{\imath}_1+5\vec{\jmath}_2 en la nueva base.

Solución

16 Base vectorial girada en el espacio

Dados los vectores

\vec{\imath}_2=-0.60\vec{\imath}_1+0.80\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{\jmath}_2=0.64\vec{\imath}_1-0.60\vec{\jmath}_1+0.48\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{k}_2=0.48\vec{\imath}_1+0.80\vec{\jmath}_1+0.36\vec{k}_1
  1. Pruebe que se trata de una base ortonormal dextrógira.
  2. Exprese el vector \vec{F}=\vec{\imath}_1+2\vec{\jmath}_1+2\vec{k}_1 y el vector \vec{G}=4\vec{\imath}_1+3\vec{k}_1 en la base \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2 \}
  3. Compruebe que el módulo |\vec{F} | tiene el mismo valor en ambas bases.
  4. Compruebe que el producto escalar \vec{F}\cdot\vec{G} tiene el mismo valor calculado en ambas bases.

Solución

17 Desplazamiento de un momento

El momento del vector \vec{v}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+\vec{k} respecto al origen de coordenadas vale \vec{M}_O=8\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-6\vec{k}.

  1. ¿Cuánto vale su momento respecto al punto A(-1,4,1)?
  2. ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de \vec{v}?

Solución

Herramientas:

Herramientas personales
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