Disco con muelle (Ene. 2020 G.I.C.)

Enunciado

El disco de la figura tiene masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . El muelle tiene constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. El muelle se mantiene siempre horizontal. Se aplica en el centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} horizontal. El contacto entre el disco y el suelo es rugoso con coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} .

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
2. ¿Cuál debe ser el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} para que el disco esté en equilibrio estático?
3. Ahora, en vez de aplicar la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} , se aplica sobre el disco un par de fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}} . ¿Cuanto debe valer Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau_0} para que el disco esté en equilibrio estático?
4. Discute como se comporta la fuerza de rozamiento cuando se aplica la fuerza y cuando se aplica el par de fuerzas.

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco: la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} en su centro, el peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_g} en su centro de masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , la fuerza elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , la normal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} y la fuerza de rozamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} .

La expresión de estas fuerzas en el sistema de ejes dado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{f} = f\,\vec{\imath},\\ \vec{p}_g = -mg\,\vec{\jmath}\\ \vec{f}_k = -kd\,\vec{\imath},\\ \vec{n} = n\,\vec{\jmath},\\ \vec{f}_r = f\,\vec{\imath}. \end{array} }

Hemos puesto la fuerza de rozamiento apuntando hacia la izquierda pues esta fuerza debe compensar el momento introducido respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} producido por la fuerza del muelle. Si esto es correcto debemos obtener como resultado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f<0} .

Valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} en equilibrio estático

Imponemos la condición de que el sumatorio de fuerzas que actúan sobre el disco sea nulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} + \vec{P}_g + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R = \vec{0} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & F-kd+f = 0, & (1)\\ Y) & \to & N-mg = 0. & (2) \end{array} \right. }

Imponemos ahora la condición de que el momento neto de las fuerzas respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} sea nulo. Sólo la fuerza elástica y la de rozamiento crean momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_C = \overrightarrow{CB}\times\vec{F}_k + \overrightarrow{CD}\times\vec{F}_R = \vec{0}. }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{CB}\times\vec{F}_k = (R\,\vec{\jmath})\times(-kd\,\vec{\imath}) = kdR\,\vec{k},\\ \overrightarrow{CD}\times\vec{F}_R = (-R\,\vec{\jmath})\times(f\,\vec{\imath}) = fR\,\vec{k}. \end{array} }

Obtenemos así la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f+kd = 0. \qquad (3) }

Tenemos tres incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{F, N, f\}} y tres ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N = mg, \qquad f = -kd, \qquad F=2kd. }

Los vectores fuerzas son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = mg,\vec{\jmath}, \qquad \vec{F}_R = -kd\,\vec{\imath}, \qquad \vec{F}=2kd\,\vec{\imath}. }

Solución con momento aplicado

La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas con el momento aplicado. El momento no está asociado en un punto. Como representa un sistema de fuerzas de resultante nula puede aplicarse en cualquier punto del disco. La expresión de fuerzas y momentos es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k},\\ \vec{P}_g = -mg\,\vec{\jmath}\\ \vec{F}_k = -kd\,\vec{\imath},\\ \vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\ \vec{F}_R = f\,\vec{\imath}. \end{array} }

Ahora las incógnitas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\tau_0, N, f\}} . La condición de sumatorio de fuerzas nulo nos da dos ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_g + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R = \vec{0} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & -kd+f = 0, & (4)\\ Y) & \to & N-mg = 0. & (5) \end{array} \right. }

La condición de momento neto nulo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} nos da otra ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_C = \vec{\tau} + \overrightarrow{CB}\times\vec{F}_k + \overrightarrow{CD}\times\vec{F}_R = \vec{0}. }

Usando los cálculos del apartado anterior tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau_0 + fR +kdR = 0. \qquad (6) }

Resolviendo el sistema tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N = mg, \qquad f = kd, \qquad \tau_0=-2kdR. }

Los vectores son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = mg,\vec{\jmath}, \qquad \vec{F}_R = kd\,\vec{\imath}, \qquad \vec{\tau}=-2kdR\,\vec{k}. }

Papel de la fuerza de rozamiento

En el primer y segundo apartados la fuerza de rozamiento es la que compensa el momento generado por la fuerza elástica respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Por eso apunta hacia la izquierda.

En el tercer apartado la fuerza de rozamiento es la única que puede compensar la fuerza ejercida hacia la izquierda por el muelle. Por eso tiene que apuntar hacia la derecha. Eso hace que el momento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}} tenga que apuntar hacia dentro, pues ahora el momento creado por la fuerza de rozamiento respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} va en el mismo sentido que el creado por la fuerza elástica.