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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[File:F1GIC_masa_plano_muelle_enunciado.png|right]]
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| Una barra homogénea de masa <math>m</math> y longitud <math>2L</math> está apoyada en el suelo en un
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| extremo (punto <math>A</math>). El otro extremo (<math>B</math>) está articulado en un eje vertical de
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| modo que la barra puede rotar alrededor de <math>B</math> y el punto <math>B</math> puede deslizar
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| sobre el eje. Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural <math>L</math> conecta
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| el punto <math>B</math> con el origen de coordenadas <math>O</math>. El muelle se mantiene vertical en
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| todo momento. El contacto de la barra en <math>B</math> es liso, mientras que es rugoso en
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| <math>A</math> con coeficiente estático de rozamiento <math>\mu</math>.
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| #Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra, indicando para que fuerzas el sentido es conocido a priori y para cuales no. Razona la respuesta.
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| #Escribe las expresiones de las fuerzas que actúan sobre la barra.
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| #Suponiendo que <math>\beta=\pi/6</math>, calcula el valor de las fuerzas que actúan sobre la barra en situación de equilibrio estático.
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| #Calcula la reducción vincular en el punto <math>G</math> usando las fuerzas obtenidas en el apartado anterior.
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| #¿Qué condición debe cumplir <math>\mu</math> para que la situación de equilibrio sea posible?
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| = Solución =
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| == Diagrama de cuerpo libre ==
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| [[File:F1GIC_masa_plano_muelle_fuerzas.png|right]]
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| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la barra. Las fuerzas activas son su peso, <math>\vec{P}</math>, y la fuerza del muelle, <math>\vec{F}_k</math>. Las fuerzas de reacción vincular son la normal en <math>B</math>, <math>\vec{N}_B</math>, la normal en <math>A</math>, <math>\vec{N}_A</math>, y la fuerza de rozamiento en <math>A</math>, <math>\vec{f}_A</math>.
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| Sabemos a priori que el peso apunta hacia abajo y que la normal en <math>A</math> apunta hacia arriba. No conocemos a priori el sentido de las otras fuerzas. El sentido de la fuerza del muelle depende de su elongación. El vínculo en <math>B</math> es bilateral, puede apuntar en los dos sentidos. Por eso, no conocemos el sentido de la fuerza de rozamiento en <math>A</math>, pues esta fuerza es la única que compensa a <math>\vec{N}_B</math>.
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| == Expresiones de las fuerzas ==
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| Usando la base del triedro de la figura tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
| |
| \\
| |
| \vec{F}_k = -k\,(y_B-L)\,\vec{\jmath} = -k\,(2L\,\mathrm{sen}\,\beta-L)\,\vec{\jmath},\\
| |
| \\
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| \vec{N}_A = N_A\,\vec{\jmath},\\
| |
| \\
| |
| \vec{f}_A = f_A\,\vec{\imath},\\
| |
| \\
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| \vec{N}_B = N_B\,\vec{\imath}.
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| == Equilibrio con <math>\beta=\pi/6</math> ==
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| Las condiciones de equilibrio son que la suma neta de fuerzas es cero y que el momento de fuerzas neto es cero.
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{F}^{neta} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}_A + \vec{f}_A + \vec{N}_B = \vec{0},\\
| |
| \\
| |
| \vec{M}_A^{neto} = \overrightarrow{AG}\times\vec{P} + \overrightarrow{AB}\times(\vec{F}_k + \vec{N}_B)=\vec{0}.
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Hemos calculado los momentos respecto de <math>A</math> pero puede ser cualquier otro punto.
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| El enunciado nos dice que <math>\beta=\pi/6</math>. Entonces la fuerza elástica es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{F}_k = -kL(2\,\mathrm{sen}\,(\pi/6) - 1)\,\vec{\jmath} = \vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| Podemos pues quitar la fuerza del muelle de las ecuaciones.
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| La primera condición nos da 2 ecuaciones
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{lclr}
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| X) & \to & f_A + N_B = 0, & (1)\\
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| &&&\\
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| Y) & \to & -mg + N_A=0. & (2)
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Para calcular el momento neto hacemos los productos vectoriales. Usamos otra vez que <math>\beta = \pi/6</math>
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \overrightarrow{AG}\times\vec{P} =
| |
| (-(\sqrt{3}L/2)\,\vec{\imath} + (L/2)\,\vec{\jmath})
| |
| \times(-mg\,\vec{\jmath})
| |
| =
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| (\sqrt{3}mgL/2)\,\vec{k} \\
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| \\
| |
| \overrightarrow{AB}\times\vec{N}_B =
| |
| (-\sqrt{3}L\,\vec{\imath} + L\,\vec{\jmath})
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| \times(N_B\,\vec{\imath}) = -LN_B\,\vec{k}.
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| El momento neto es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{M}_A^{neto} = \left(
| |
| \dfrac{\sqrt{3}}{2}mgL -N_BL
| |
| \right)\,\vec{k}
| |
| </math>
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| </center>
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| Como tiene que ser nulo obtenemos la ecuación
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| <center>
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| <math>
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| \dfrac{\sqrt{3}}{2}mgL -N_BL = 0. \qquad (3)
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| </math>
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| </center>
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| Tenemos 3 ecuaciones para 3 incógnitas: <math>\{N_A, f_A, N_B\}</math>. Resolviéndolas obtenemos
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| <center>
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| <math>
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| N_A = mg, \qquad f_A = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg, \qquad N_B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mg.
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| </math>
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| </center>
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| Los vectores son
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{N}_A = mg\,\vec{\jmath}, \\
| |
| \\
| |
| \vec{f}_A = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg\,\vec{\imath},\\
| |
| \\
| |
| \vec{N}_B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}mg\,\vec{\imath}.
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| == Reducción vincular en <math>G</math> ==
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| Las fuerzas vinculares son <math>\{\vec{N}_A, \vec{f}_A, \vec{N}_B\}</math>. La resultante es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{R} = \vec{N}_A + \vec{f}_A + \vec{N}_B = mg\,\vec{\jmath}.
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| </math>
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| </center>
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| El momento resultante en <math>G</math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\Gamma}_G = \overrightarrow{GA}\times(\vec{N}_A+\vec{f}_A) + \overrightarrow{GB}\times\vec{N}_B
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| </math>
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| </center>
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| Podemos calcularlo así. Pero es más rápido de esta forma. El momento neto respecto a <math>G</math> tiene que ser cero, para que haya equilibrio. Esto quiere decir que el momento vincular y el dinámico (el de las fuerzas activas) tienen que anularse
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\Gamma}_G + \vec{M}_G = \vec{0}
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| </math>
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| </center>
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| Y el momento dinámico es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{M}_G = \overrightarrow{GG}\times\vec{P} + \overrightarrow{GB}\times\vec{F}_k = \vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| El primer término es nulo por que <math>\overrightarrow{GG}=0</math>. El segundo es nulo porque para este valor de <math> \beta</math> la fuerza del muelle es nula. Por tanto la reducción vincular es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{R} = mg\,\vec{\jmath}, \qquad \vec{\Gamma}_G=\vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| == Condición de equilibrio ==
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| La condición para que el rozamiento en <math>A</math> sea capaz de equilibrar la barra es
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{f}_A| \leq \mu|\vec{N}_A|
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| \Longrightarrow
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| \mu \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
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| </math>
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| </center>
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| == Errores comunes detectados en la corrección ==
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| #La fuerza vincular en <math>B</math> tiene '''únicamente componente horizontal''', porque ese es el movimiento prohibido por el vínculo. El punto <math>B</math> se puede mover verticalmente a lo largo de la barra sin restricciones, por tanto no hay componente de fuerza vincular en la dirección vertical.
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| #La longitud natural del muelle '''no es nula'''. Hay que usar la expresión adecuada para describir la fuerza que ejerce.
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| [[Categoría: Problemas de Estática]]
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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