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Polea con masa, Enero 2019 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

1 Enunciado

Una cuerda ideal sin masa está completamente enrollada en una polea de masa M = 2m y radio R. Al extremo de la cuerda está atada una masa m. El centro de la polea, que es un punto fijo, se encuentra a una altura H del suelo. En el instante inicial la masa estaba a la altura del centro de la polea (punto A de la figura) y la polea estaba en reposo. Entonces, se deja girar libremente a la polea. La gravedad actúa como se indica en la figura. Supondremos que la cuerda está siempre tensa y que la masa se mueve verticalmente. El momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro es I = MR2 / 2.

  1. Usando la conservación de Energía Mecánica, calcula la rapidez con la que la masa impacta en el suelo.
  2. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa y la polea.
  3. Aplicando la Segunda Ley de Newton. el T.C.M. y el T.M.C, calcula la aceleración de la masa, la tensión de la cuerda y las fuerzas sobre la polea durante el movimiento.

2 Solución

2.1 Impacto con el suelo

La única fuerza que hace trabajo es la gravedad. Al ser conservativa, se conserva la energía mecánica. Pero hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea, pues tiene masa.

Tomando como referencia de energía potencial el suelo, en el instante inicial la energía mecánica es puramente potencial gravitatoria

E = mgH + MgH = 3mgH.

Cuando la masa m impacta con el suelo la energía mecánica consta de la energía cinética y la energía pontencial gravitatoria de la polea

E = T + MgH.

La energía cinética es la suma de las energías cinéticas de la masa, Tm y de la polea, TM


\begin{array}{l}
T_m = \dfrac{1}{2}mv_m^2, \\
\\
T_M = \dfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{1}{2}\dfrac{2mR^2}{2}\dfrac{v_m^2}{R^2} = 
\dfrac{1}{2}mv_m^2.
\end{array}

Hemos usado que ω = vm / R, pues la velocidad de la masa es en todo instante igual a la del punto A de la polea. Entonces, la energía mecánica del sistema cuando la masa impacta con el suelo es


E = T_m + T_M + MgH = mv_m^2 + 2mgH.

Igualando con el valor inicial de la energía mecánica tenemos


3mgH = mv_m^2 + 2mg \Longrightarrow v_m = \sqrt{gH}.

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