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Percusión sobre una barra con resorte

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 12: Línea 12:
<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}</math></center>
<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}</math></center>
* La fuerza elástica debida al resorte
* La fuerza elástica debida al resorte
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<center><math>\vec{F}_e=k(\ell-\ell\cos(\theta))\vec{\jmath}</math></center>
+
<center><math>\vec{F}_e=k(\ell_0-\ell_0\cos(\theta))\vec{\jmath}</math></center>
:siendo &theta; el ángulo que la barra forma con la vertical
:siendo &theta; el ángulo que la barra forma con la vertical
* La fuerza de reacción con el suelo
* La fuerza de reacción con el suelo
Línea 49: Línea 49:
==Efecto de la percusión==
==Efecto de la percusión==
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Cuando se produce la percusión en C, aparecen dos percusiones de reacción en los puntos de apoyo, A y B, de forma que el sistema está sometido a tres percusiones, dos de ellas de valor desconocido
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<center><math>\vec{P}_A=P_A\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{P}_B=P_B\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{P}_C=-P_C\vec{\imath}</math></center>
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El teorema de la cantidad de movimiento para las fuerzas impulsivas nos dice que
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<center><math>m\vec{v}_G=\vec{P}=(P_B-P_C)\vec{\imath}+P_A\vec{\jmath}</math></center>
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La velocidad del CM tras la percusión no es puramente horizontal, ya que la barra está obligada a permanecer sobre el suelo y la pared. Por ello G debe permanecer a una distancia <math>\ell_0/2</math> del origen de coordenadas y su movimiento es circular
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<center><math>\overrightarrow{OG}=\frac{\ell_0}{2}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath})</math></center>
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Derivando aquí
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\vec{v}_G=\frac{\ell_0}{2}\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})</math></center>
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Igualamos componente a componente en el TCM
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<center><math>\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)=P_B-P_C\qquad\qquad -\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)=P_A</math></center>
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Estas dos ecuaciones no son suficientes ya que tenemos tres incógnitas. La tercera ecuación sale del teorema del momento cinético
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<center><math>I\vec{\omega}=\overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A+\overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B+\overrightarrow{GC}\times\vec{P}_C</math></center>
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Respecto al CM la barra realiza un giro con velocidad angular <math>\omega =\dot{\theta}</math>, siendo su momento de inercia respecto a un eje por el CM <math>I=m\ell_0^2/12</math>. Por tanto
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<center><math>\frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)P_A-\frac{\ell_0}{2}\cos(theta)P_B-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C</math></center>
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Despejamos del TMC y sustituimos aquí
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<center><math>\frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\left(-\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\right)-\frac{\ell_0}{2}\cos(theta)\left(\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)+P_C\right)-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C</math></center>
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==Impacto con la pared==
==Impacto con la pared==
==Tratamiento mediante dinámica analítica==
==Tratamiento mediante dinámica analítica==

Revisión de 11:38 14 oct 2020

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema formado por una varilla de masa m=1.2\,\mathrm{kg} y longitud b=1\,\mathrm{m}, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared está conectado a la esquina mediante un resorte de constante k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitud natural \ell_0=1\,\mathrm{m}. Por efecto de la gravedad (tómese g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2) la varilla resbala hasta que la compresión del resorte la detiene.

  1. Determine la posición de los extremos A y B de la barra en la posición de equilibrio.
  2. Suponiendo que se encuentra en la posición de equilibrio, se efectúa sobre la barra una percusión horizontal en un punto C a una altura h=20\,\mathrm{cm} y de magnitud \vec{P}_C=-1.5\,\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}. Calcule la velocidad del centro de masas inmediatamente después de la percusión, así como las percusiones de reacción en la pared y el suelo.
  3. Tras la percusión anterior, la varilla se acerca a la pared. Calcule la velocidad del centro de masas de la varilla en el momento en que impacta con la pared.

2 Posición de equilibrio

La condición de equilibrio de un sólido la da el que la resultante de las fuerzas se anule y también lo haga el momento resyltante respecto a cualquier punto.

\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O=\vec{0}

Las fuerzas que actúan sobre el sólido son

  • El peso
m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}
  • La fuerza elástica debida al resorte
\vec{F}_e=k(\ell_0-\ell_0\cos(\theta))\vec{\jmath}
siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical
  • La fuerza de reacción con el suelo
\vec{F}_A=F_A\vec{\jmath}
  • La fuerza de reacción con el suelo
\vec{F}_B=F_B\vec{\imath}

La condición de resultante nula nos da las ecuaciones, separando por componentes

-mg+k\ell_0(1-\cos(\theta))+F_A=0\qquad\qquad F_B=0

Para completar el sistema necesitamos que también se anulen los momentos. Nos vale cualquier punto. Si lo hacemos respecto a la esquina, O,

\vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_e+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B

Esto nos da la ecuación

-\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)mg+0+\ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)F_A-\ell_0\cos(\theta)F_B=0

de la cual obtenemos

F_A=\frac{mg}{2}

y, por tanto,

k\ell(1-\cos(\theta))=\frac{mg}{2}\qquad\Rightarrow \qquad \cos(\theta)=1-\frac{mg}{2k\ell_0}

siendo el valor numérico

\cos(\theta)=1-\frac{1.2\times 10}{2\times30}=0.8\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\theta)=0.60

Por ello, las posiciones de los puntos A y B se encuentran en

\overrightarrow{OA}=\ell_0\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}=0.60\vec{\imath}\,\mathrm{m}\qquad\qquad
\overrightarrow{OB}=\ell_0\cos(\theta)\vec{\jmath}=0.80\vec{\jmath}\,\mathrm{m}

3 Efecto de la percusión

Cuando se produce la percusión en C, aparecen dos percusiones de reacción en los puntos de apoyo, A y B, de forma que el sistema está sometido a tres percusiones, dos de ellas de valor desconocido

\vec{P}_A=P_A\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{P}_B=P_B\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{P}_C=-P_C\vec{\imath}

El teorema de la cantidad de movimiento para las fuerzas impulsivas nos dice que

m\vec{v}_G=\vec{P}=(P_B-P_C)\vec{\imath}+P_A\vec{\jmath}

La velocidad del CM tras la percusión no es puramente horizontal, ya que la barra está obligada a permanecer sobre el suelo y la pared. Por ello G debe permanecer a una distancia \ell_0/2 del origen de coordenadas y su movimiento es circular

No se pudo entender (error de sintaxis): \overrightarrow{OG}=\frac{\ell_0}{2}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath})

Derivando aquí

No se pudo entender (error de sintaxis): \vec{v}_G=\frac{\ell_0}{2}\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})

Igualamos componente a componente en el TCM

\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)=P_B-P_C\qquad\qquad -\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)=P_A

Estas dos ecuaciones no son suficientes ya que tenemos tres incógnitas. La tercera ecuación sale del teorema del momento cinético

I\vec{\omega}=\overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A+\overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B+\overrightarrow{GC}\times\vec{P}_C

Respecto al CM la barra realiza un giro con velocidad angular \omega =\dot{\theta}, siendo su momento de inercia respecto a un eje por el CM I=m\ell_0^2/12. Por tanto

\frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)P_A-\frac{\ell_0}{2}\cos(theta)P_B-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C

Despejamos del TMC y sustituimos aquí

\frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)\left(-\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\right)-\frac{\ell_0}{2}\cos(theta)\left(\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)+P_C\right)-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C

4 Impacto con la pared

5 Tratamiento mediante dinámica analítica

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