Enunciado
Se tiene un sistema formado por una varilla de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=1.2\,\mathrm{kg}}
y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=1\,\mathrm{m}}
, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared está conectado a la esquina mediante un resorte de constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}}
y longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_0=1\,\mathrm{m}}
. Por efecto de la gravedad (tómese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}
) la varilla resbala hasta que la compresión del resorte la detiene.
- Determine la posición de los extremos A y B de la barra en la posición de equilibrio.
- Suponiendo que se encuentra en la posición de equilibrio, se efectúa sobre la barra una percusión horizontal en un punto C a una altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h=20\,\mathrm{cm}}
y de magnitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_C=-1.5\,\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}.}
Calcule la velocidad del centro de masas inmediatamente después de la percusión, así como las percusiones de reacción en la pared y el suelo.
- Tras la percusión anterior, la varilla se acerca a la pared. Calcule la velocidad del centro de masas de la varilla en el momento en que impacta con la pared.
Posición de equilibrio
La condición de equilibrio de un sólido la da el que la resultante de las fuerzas se anule y también lo haga el momento resultante respecto a cualquier punto.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O=\vec{0}}
Las fuerzas que actúan sobre el sólido son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}}
- La fuerza elástica debida al resorte
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_e=k(\ell_0-\ell_0\cos(\theta))\vec{\jmath}}
- siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical
- La fuerza de reacción con el suelo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A=F_A\vec{\jmath}}
- La fuerza de reacción con el suelo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_B=F_B\vec{\imath}}
La condición de resultante nula nos da las ecuaciones, separando por componentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -mg+k\ell_0(1-\cos(\theta))+F_A=0\qquad\qquad F_B=0}
Para completar el sistema necesitamos que también se anulen los momentos. Nos vale cualquier punto. Si lo hacemos respecto a la esquina, O,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_e+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B}
Esto nos da la ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)mg+0+\ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)F_A-\ell_0\cos(\theta)F_B=0}
de la cual obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_A=\frac{mg}{2}}
y, por tanto,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k\ell(1-\cos(\theta))=\frac{mg}{2}\qquad\Rightarrow \qquad \cos(\theta)=1-\frac{mg}{2k\ell_0}}
siendo el valor numérico
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Por ello, las posiciones de los puntos A y B se encuentran en
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=\ell_0\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}=0.60\vec{\imath}\,\mathrm{m}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=\ell_0\cos(\theta)\vec{\jmath}=0.80\vec{\jmath}\,\mathrm{m}}
Efecto de la percusión
Cuando se produce la percusión en C, aparecen dos percusiones de reacción en los puntos de apoyo, A y B, de forma que el sistema está sometido a tres percusiones, dos de ellas de valor desconocido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_A=P_A\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{P}_B=P_B\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{P}_C=-P_C\vec{\imath}}
El teorema de la cantidad de movimiento para las fuerzas impulsivas nos dice que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{v}_G=\vec{P}=(P_B-P_C)\vec{\imath}+P_A\vec{\jmath}}
La velocidad del CM tras la percusión no es puramente horizontal, ya que la barra está obligada a permanecer sobre el suelo y la pared. Por ello G debe permanecer a una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_0/2}
del origen de coordenadas y su movimiento es circular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\ell_0}{2}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}\right)}
Derivando aquí
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Igualamos componente a componente en el TCM
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\cos(\theta)=P_B-P_C\qquad\qquad -\frac{m\ell_0}{2}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)=P_A}
Estas dos ecuaciones no son suficientes ya que tenemos tres incógnitas. La tercera ecuación sale del teorema del momento cinético
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\vec{\omega}=\overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A+\overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B+\overrightarrow{GC}\times\vec{P}_C}
Respecto al CM la barra realiza un giro con velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega =\dot{\theta}}
, siendo su momento de inercia respecto a un eje por el CM Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=m\ell_0^2/12}
. Por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{m\ell_0^2}{12}\dot{\theta}=\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)P_A-\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)P_B-\left(\frac{\ell_0}{2}\cos(\theta)-h\right)P_C}
Despejamos del TMC y sustituimos aquí
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Agrupamos términos y queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{m\ell_0^2}{3}\dot\theta=-\left({\ell_0}\cos(\theta)-h\right)P_C}
por lo que la velocidad angular de la barra justo tras la percusión es
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lo que nos da la velocidad del CM
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Impacto con la pared
En este sistema se conserva la energía mecánica ya que todas las fuerzas o son conservativas (el peso y la fuerza elástica) o no realizan trabajo (las fuerzas normales en la pared).
La energía mecánica es suma de la cinética más la potencial. La cinética es suma de la de traslación con el CM, más la de rotación alrededor de éste
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{\ell_0}{2}\right)^2 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2}m\frac{\ell_0^2}{12} \dot{\theta}^2 = \frac{1}{6}m\ell_0^2\dot{\theta}^2}
La potencial es suma de la debida al peso más la debida al muelle
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=mgh_G+\frac{1}{2}k\left(\ell_0-\ell_0\cos(\theta)\right)^2=\frac{mg\ell_0}{2}\cos(\theta)+\frac{1}{2}k\ell_0^2 (1-\cos(\theta))^2}
Justo tras la percusión estas dos cantidades valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{1}{6}m\ell_0^2 \dot{\theta}^2=\frac{1}{6}1.2\times2.25^2 = 1.0125\,\mathrm{J}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=1.2\times 10\times 0.40+\frac{1}{2}30(1-0.80)^2 = 4.8+0.6 = 5.4\,\mathrm{J}}
Cuando impacta, el ángulo con la vertical para a ser nulo y la energía potencial es
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Igualando la energía mecánica en los dos instantes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 5.4+1.0125=6.0+0.2\omega_f^2\qquad\Rightarrow\qquad \omega_f = -1.44\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}
siendo la velocidad del CM en ese instante
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