Percusión sobre una barra con resorte

Enunciado

Se tiene un sistema formado por una varilla de masa $m=1.2\,\mathrm {kg}$ y longitud $b=1\,\mathrm {m}$, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared está conectado a la esquina mediante un resorte de constante $k=30\,\mathrm {N} /\mathrm {m}$ y longitud natural $\ell _{0}=1\,\mathrm {m}$. Por efecto de la gravedad (tómese $g=10\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$) la varilla resbala hasta que la compresión del resorte la detiene.

1. Determine la posición de los extremos A y B de la barra en la posición de equilibrio.
2. Suponiendo que se encuentra en la posición de equilibrio, se efectúa sobre la barra una percusión horizontal en un punto C a una altura $h=20\,\mathrm {cm}$ y de magnitud ${\vec {P}}_{C}=-1.5\,{\vec {\imath }}\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {s} .$ Calcule la velocidad del centro de masas inmediatamente después de la percusión, así como las percusiones de reacción en la pared y el suelo.
3. Tras la percusión anterior, la varilla se acerca a la pared. Calcule la velocidad del centro de masas de la varilla en el momento en que impacta con la pared.

Posición de equilibrio

La condición de equilibrio de un sólido la da el que la resultante de las fuerzas se anule y también lo haga el momento resultante respecto a cualquier punto.

${\vec {F}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {M}}_{O}={\vec {0}}$

Las fuerzas que actúan sobre el sólido son

• El peso

$m{\vec {g}}=-mg{\vec {\jmath }}$

• La fuerza elástica debida al resorte

${\vec {F}}_{e}=k(\ell _{0}-\ell _{0}\cos(\theta )){\vec {\jmath }}$

siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical

• La fuerza de reacción con el suelo

${\vec {F}}_{A}=F_{A}{\vec {\jmath }}$

• La fuerza de reacción con el suelo

${\vec {F}}_{B}=F_{B}{\vec {\imath }}$

La condición de resultante nula nos da las ecuaciones, separando por componentes

$-mg+k\ell _{0}(1-\cos(\theta ))+F_{A}=0\qquad \qquad F_{B}=0$

Para completar el sistema necesitamos que también se anulen los momentos. Nos vale cualquier punto. Si lo hacemos respecto a la esquina, O,

${\vec {M}}_{O}={\overrightarrow {OG}}\times (m{\vec {g}})+{\overrightarrow {OB}}\times {\vec {F}}_{e}+{\overrightarrow {OA}}\times {\vec {F}}_{A}+{\overrightarrow {OB}}\times {\vec {F}}_{B}$

Esto nos da la ecuación

$-{\frac {\ell _{0}}{2}}\mathrm {sen} (\theta )mg+0+\ell _{0}\,\mathrm {sen} (\theta )F_{A}-\ell _{0}\cos(\theta )F_{B}=0$

de la cual obtenemos

$F_{A}={\frac {mg}{2}}$

y, por tanto,

$k\ell (1-\cos(\theta ))={\frac {mg}{2}}\qquad \Rightarrow \qquad \cos(\theta )=1-{\frac {mg}{2k\ell _{0}}}$

siendo el valor numérico

$\cos(\theta )=1-{\frac {1.2\times 10}{2\times 30}}=0.8\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {sen} (\theta )=0.60$

Por ello, las posiciones de los puntos A y B se encuentran en

${\overrightarrow {OA}}=\ell _{0}\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}=0.60{\vec {\imath }}\,\mathrm {m} \qquad \qquad {\overrightarrow {OB}}=\ell _{0}\cos(\theta ){\vec {\jmath }}=0.80{\vec {\jmath }}\,\mathrm {m}$

Efecto de la percusión

Cuando se produce la percusión en C, aparecen dos percusiones de reacción en los puntos de apoyo, A y B, de forma que el sistema está sometido a tres percusiones, dos de ellas de valor desconocido

${\vec {P}}_{A}=P_{A}{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {P}}_{B}=P_{B}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {P}}_{C}=-P_{C}{\vec {\imath }}$

El teorema de la cantidad de movimiento para las fuerzas impulsivas nos dice que

$m{\vec {v}}_{G}={\vec {P}}=(P_{B}-P_{C}){\vec {\imath }}+P_{A}{\vec {\jmath }}$

La velocidad del CM tras la percusión no es puramente horizontal, ya que la barra está obligada a permanecer sobre el suelo y la pared. Por ello G debe permanecer a una distancia $\ell _{0}/2$ del origen de coordenadas y su movimiento es circular

${\overrightarrow {OG}}={\frac {\ell _{0}}{2}}\left(\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\right)$

Derivando aquí

${\vec {v}}_{G}={\frac {\ell _{0}}{2}}{\dot {\theta }}\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}\right)$

Igualamos componente a componente en el TCM

${\frac {m\ell _{0}}{2}}{\dot {\theta }}\cos(\theta )=P_{B}-P_{C}\qquad \qquad -{\frac {m\ell _{0}}{2}}{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )=P_{A}$

Estas dos ecuaciones no son suficientes ya que tenemos tres incógnitas. La tercera ecuación sale del teorema del momento cinético

$I{\vec {\omega }}={\overrightarrow {GA}}\times {\vec {P}}_{A}+{\overrightarrow {GB}}\times {\vec {P}}_{B}+{\overrightarrow {GC}}\times {\vec {P}}_{C}$

Respecto al CM la barra realiza un giro con velocidad angular $\omega ={\dot {\theta }}$, siendo su momento de inercia respecto a un eje por el CM $I=m\ell _{0}^{2}/12$. Por tanto

${\frac {m\ell _{0}^{2}}{12}}{\dot {\theta }}={\frac {\ell _{0}}{2}}\mathrm {sen} (\theta )P_{A}-{\frac {\ell _{0}}{2}}\cos(\theta )P_{B}-\left({\frac {\ell _{0}}{2}}\cos(\theta )-h\right)P_{C}$

Despejamos del TMC y sustituimos aquí

${\frac {m\ell _{0}^{2}}{12}}{\dot {\theta }}={\frac {\ell _{0}}{2}}\mathrm {sen} (\theta )\left(-{\frac {m\ell _{0}}{2}}{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} (\theta )\right)-{\frac {\ell _{0}}{2}}\cos(\theta )\left({\frac {m\ell _{0}}{2}}{\dot {\theta }}\cos(\theta )+P_{C}\right)-\left({\frac {\ell _{0}}{2}}\cos(\theta )-h\right)P_{C}$

Agrupamos términos y queda

${\frac {m\ell _{0}^{2}}{3}}{\dot {\theta }}=-\left({\ell _{0}}\cos(\theta )-h\right)P_{C}$

por lo que la velocidad angular de la barra justo tras la percusión es

${\dot {\theta }}=-{\frac {3(\ell _{0}\cos(\theta )-h)P_{C}}{m\ell _{0}^{2}}}={\frac {-3(0.80-0.20)1.5}{1.2}}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=-2.25\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

lo que nos da la velocidad del CM

${\vec {v}}_{G}={\frac {\ell _{0}}{2}}{\dot {\theta }}\left(\cos(\theta ){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}\right)=\left(-0.9{\vec {\imath }}+0.675{\vec {\jmath }}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Impacto con la pared

En este sistema se conserva la energía mecánica ya que todas las fuerzas o son conservativas (el peso y la fuerza elástica) o no realizan trabajo (las fuerzas normales en la pared).

La energía mecánica es suma de la cinética más la potencial. La cinética es suma de la de traslación con el CM, más la de rotación alrededor de éste

$T={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{G}|^{2}+{\frac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}|^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\ell _{0}}{2}}\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\frac {\ell _{0}^{2}}{12}}{\dot {\theta }}^{2}={\frac {1}{6}}m\ell _{0}^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

La potencial es suma de la debida al peso más la debida al muelle

$U=mgh_{G}+{\frac {1}{2}}k\left(\ell _{0}-\ell _{0}\cos(\theta )\right)^{2}={\frac {mg\ell _{0}}{2}}\cos(\theta )+{\frac {1}{2}}k\ell _{0}^{2}(1-\cos(\theta ))^{2}$

Justo tras la percusión estas dos cantidades valen

$T={\frac {1}{6}}m\ell _{0}^{2}{\dot {\theta }}^{2}={\frac {1}{6}}1.2\times 2.25^{2}=1.0125\,\mathrm {J}$ $U=1.2\times 10\times 0.40+{\frac {1}{2}}30(1-0.80)^{2}=4.8+0.6=5.4\,\mathrm {J}$

Cuando impacta, el ángulo con la vertical para a ser nulo y la energía potencial es

$U_{i}=1.2\times 10\times 0.5+0=6.0\,\mathrm {J}$

Igualando la energía mecánica en los dos instantes

$5.4+1.0125=6.0+0.2\omega _{f}^{2}\qquad \Rightarrow \qquad \omega _{f}=-1.44\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

siendo la velocidad del CM en ese instante

${\vec {v}}_{G}={\frac {\ell _{0}}{2}}\omega _{f}{\vec {\imath }}=-0.718\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$