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Partículas en colisión inelástica unidireccional

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = Una partícula de masa <math>m</math> y velocidad <math>\vec{v}_0</math> colisiona con otra partícula de masa <math>m</math> que está en reposo. Después del cho…')
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1 Enunciado

Una partícula de masa m y velocidad \vec{v}_0 colisiona con otra partícula de masa m que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de \vec{v}_0. El coeficiente de restitución del choque es CR.

  1. Determina la velocidad de las dos partículas después del choque.
  2. Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de restitución. ¿Cómo es la variación de energía cinética en los valores límites del coeficiente de restitución?

2 Solución

Escogemos el eje X en la dirección que coincide con la velocidad de la partícula que se mueve antes de la colisión. Antes de la colisión tenemos


\vec{v}_{1i} = v_0\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_{2i}=\vec{0}.

Después de la colisión las velocidades de las partículas son


\vec{v}_{1f} = v_{1f}\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_{2f}=v_{2f}\,\vec{\imath}.

En toda colisión se conserva la cantidad de movimiento, pues las fuerzas externas no tienen tiempo de cambiarla debido a que ocurre muy rápido. Como las partículas tienen la misma masa m tenemos


\left.
\begin{array}{l}
\vec{P}_i = m\vec{v}_{1i} + m\vec{v}_{2i} = m v_0\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_f = m\vec{v}_{1f} + m\vec{v}_{2f} = m (v_{1f} + v_{2f}),\vec{\imath}.\\
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\vec{P}_i = \vec{P}_f
\Longrightarrow
v_{1f} + v_{2f} = v_0.  \qquad (1)

Necesitamos otra ecuación. Esta la proporciona el coeficiente de restitución. Su definición es


C_R = -\dfrac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}= \dfrac{v_{2f}-v_{1f}}{v_0}.

Hemos usado que en este problema v1i = v0 y v2i = 0. Esto nos da la otra ecuación


v_{2f} - v_{1f} = C_Rv_0. \qquad (2)

Despejando obtenemos


v_{1f} = v_0\,\dfrac{1-C_R}{2}, \qquad v_{2f} = v_0\,\dfrac{1+C_R}{v_0}.

Podemos evaluar la pérdida de energía cinética que sufre el sistema de dos partículas


\begin{array}{ll}
\Delta T = & T_f - T_i = \dfrac{C_R^2-1}{2}T_i.\\
\\
& T_i = \dfrac{1}{2}mv_0^2,\\
\\
& T_f = \dfrac{1+C_R^2}{2}T_i.
\end{array}

Los casos extremos son

CR = 1

Esto corresponde a una colisión elástica. Tenemos


v_{1f} = 0, \qquad v_{2f} = v_0\,\qquad \Delta T_f = 0.

CR = 0

Esto corresponde a una colisión completamente inelástica (plástica). Tenemos


v_{1f} = v_{2f} = v_0/2\,\qquad \Delta T_f = -T_i/2.

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