Una partícula de masa está engarzada en un aro de radio . El contacto
entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante
elástica y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en
el punto . En el instante inicial la partícula se
encuentra en el punto y se le comunica una velocidad vertical de módulo
.
Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
Calcula el momento cinético de la partícula cuando .
¿Cuál es el valor mínimo de para que la partícula llegue hasta el punto ?
Nota: La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión , siendo su longitud.
Solución
Análisis previo
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza
vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque
no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo
de su movimiento.
Expresión de la energía mecánica
La energía cinética es
donde es la rapidez de la partícula.
La energía potencial gravitatoria puede escribirse
Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura .
La energía potencial elástica es
La energía mecánica es
En el instante inicial tenemos y . Entonces
Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple
Momento cinético
El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es
Cuando tenemos
Para el módulo de la velocidad en este instante, , tenemos, de la conservación de energía mecánica
Por tanto
Del dibujo vemos que el vector velocidad es
Aquí, viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.
El momento cinético pedido es
Velocidad mínima
Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando
se cumple
La rapidez en el punto es
Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es