Paralelogramo en cuadrilátero

Enunciado

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

Solución

Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$, ${\overrightarrow {OC}}$ y ${\overrightarrow {OD}}$. Las posiciones de los puntos medios E, F, G y H se encuentran en

${\overrightarrow {OE}}={\frac {{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}}{2}}$    ${\overrightarrow {OF}}={\frac {{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}{2}}$    ${\overrightarrow {OG}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{2}}$    ${\overrightarrow {OH}}={\frac {{\overrightarrow {OD}}+{\overrightarrow {OA}}}{2}}$

Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es

${\overrightarrow {EF}}={\overrightarrow {OF}}-{\overrightarrow {OE}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}}{2}}$

El vector que une H y G se calcula de la misma forma

${\overrightarrow {HG}}={\overrightarrow {OG}}-{\overrightarrow {OH}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}}{2}}={\overrightarrow {EF}}$

Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado ${\overrightarrow {HG}}$ es paralelo al ${\overrightarrow {EF}}$.

Operando del mismo modo se demuestra que ${\overrightarrow {FG}}$ y ${\overrightarrow {EH}}$ son también paralelos e iguales.

Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos.

Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo.