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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[File:F1GIERM-2019-masas-cuerda-muelle.png|right|300px]]
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| La masa <math>m_1</math> de la figura está engarzada en un hilo horizontal sin rozamiento.
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| La masa <math>m_2</math> desliza sobre una superficie horizontal también lisa. La distancia
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| entre las líneas horizontales es <math>h=3d_0</math>. Las dos
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| masas están unidas por una cuerda ideal sin masa de longitud <math>L=5d_0</math>. La cuerda
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| está siempre tensa. La gravedad
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| actúa como se indica en la figura. La masa <math>m_2</math> está a su vez unida a un muelle
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| de longitud natural nula y constate elástica <math>k</math>. El otro extremo del muelle está
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| anclado en el punto <math>O</math>. La masa <math>m_1</math> está sometida a la acción de una fuerza
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| horizontal <math>\vec{F} = F\,\vec{\imath}</math>.
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| #Dibuja el diagrama de fuerzas que actúa sobre cada partícula.
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| #Calcula el vector de posición de la partícula 1.
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| #En situación de equilibrio estático, encuentra la tensión de la cuerda y la fuerza que la superficie horizontal ejerce sobre la masa <math>m_2</math>.
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| #Supongamos ahora que el contacto entre la masa <math>m_2</math> y la superficie horizontal es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu=2</math>. Además, la masa <math>m_2</math> se ajusta para que <math>m_2g=F</math>. ¿Qué condición debe cumplir <math>F</math> para que el punto <math>A_2</math> de coordenada <math>x_2=d_0</math> sea un punto de equilibrio estático?
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| = Solución =
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| == Diagrama de fuerzas ==
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| [[File:F1GIERM-2019-masas-cuerda-muelle-fuerzas.png|right|300px]]
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| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Vamos a expresar estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura. Para la partícula 1 tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| \vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
| |
| \vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{T}_1 = -T\cos\beta\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Para la partícula 2 tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{T}_2 = -\vec{T}_1 = T\cos\beta\,\vec{\imath} + T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{F}_k = -kx_2\,\vec{\imath},\\
| |
| \vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath}.\\
| |
| \end{array}
| |
| </math>
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| </center>
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| El ángulo <math>\beta</math> es
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| <center>
| |
| <math>
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| \mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{h}{L} = \dfrac{3}{5}
| |
| \Longrightarrow
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| \cos\beta = \sqrt{1-\mathrm{sen}^2\,\beta} = \dfrac{4}{5}.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| == Vector de posición de la partícula 1 ==
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| Observando el dibujo vemos que
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{OP}_1 = \overrightarrow{OP}_2 + \overrightarrow{P_1P}_2 = (x_2 + 4d_0)\,\vec{\imath} + 3d_0\,\vec{\jmath}.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| == Valor de las fuerzas en equilibrio estático ==
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| Para que haya equilibrio estático la suma de fuerzas sobre cada masa debe ser nula. Para la partícula 1 tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| X) & \to & F - \dfrac{4}{5}T = 0, & (1)\\
| |
| Y) & \to & -m_1g + N_1 - \dfrac{3}{5}T = 0. & (2)
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la partícula 2 tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{F}_k + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| X) & \to & -kx_2 + \dfrac{4}{5}T = 0, & (3)\\
| |
| Y) & \to & -m_2g + N_2 + \dfrac{3}{5}T = 0. & (4)
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Resolviendo obtenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| x_2 = \dfrac{F}{k}\,\qquad T = \dfrac{5}{4}F, \qquad N_1 = m_1g + \dfrac{3}{4}F,\qquad N_2 = m_2g - \dfrac{3}{4}F.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| == Análisis con rozamiento ==
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| [[File:F1GIERM-2019-masas-cuerda-muelle-fuerzas-rozamiento.png|right|300px]]
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| Al incluir el rozamiento debemos añadir una fuerza actuando sobre la partícula 2. La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas para esta situación. Las fuerzas sobre la partícula 1 tienen las mismas expresiones
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| que antes
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| <center>
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| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
| |
| \vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{T}_1 = -T\cos\beta\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la partícula 2
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{T}_2 = -\vec{T}_1 = T\cos\beta\,\vec{\imath} + T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{F}_k = -kx_2\,\vec{\imath},\\
| |
| \vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Aplicamos de nuevo la condición de equilibrio estático a cada partícula. La diferencia es que tenemos una incógnita mas, la magnitud de la fuerza de rozamiento. Pero ahora la posición de la partícula 2 es un dato. <math>x_2 = d_0</math>Para la partícula 1 tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| X) & \to & F - \dfrac{4}{5}T = 0, & (5)\\
| |
| Y) & \to & -m_1g + N_1 - \dfrac{3}{5}T = 0. & (6)
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la partícula 2 tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{F}_k + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2 + \vec{F}_R = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| X) & \to & -kd_0 + \dfrac{4}{5}T + f= 0, & (7)\\
| |
| Y) & \to & -m_2g + N_2 + \dfrac{3}{5}T = 0. & (8)
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Resolviendo obtenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| f = kd_0-F, \qquad N2 = \dfrac{4m_2g-3F}{4}, \qquad N_1 = \dfrac{4m_1g+3F}{4}, \qquad T = \dfrac{5}{4}F.
| |
| </math>
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| </center>
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| Utilizando la condición dada por el enunciado <math>m_2g = F</math>, obtenemos para las fuerzas normal y de rozamiento sobre la partícula 2
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{N}_2 = \dfrac{1}{4}F\,\vec{\jmath}, \qquad \vec{F}_R = (kd_0 - F)\,\vec{\imath}.
| |
| </math>
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| </center>
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| La condición de no deslizamiento es
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{N}|
| |
| \Longrightarrow
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| |kd_0-F| \leq \mu F/4.
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| </math>
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| </center>
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| Si utilizamos el valor del enunciado <math>\mu=2</math> la condición queda
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| <center>
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| <math>
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| |kd_0-F| \leq F/2.
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| </math>
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| </center>
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| Podemos considerar dos situaciones aquí. Por un lado
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| <center>
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| <math>
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| kd_0>F \to |kd_0-F| = kd_0-F \to kd_0-F < F/2 \to kd_0 < 3F/2 \to F > 2kd_0/3.
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| </math>
| |
| </center>
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| Por el otro
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| <center>
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| <math>
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| kd_0<F \to |kd_0-F| = -kd_0+F \to -kd_0+F < F/2 \to F/2 < kd_0 \to F < 2kd_0.
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| </math>
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| </center>
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| Por tanto, la condición que debe cumplir la fuerza para que no haya deslizamiento es
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| <center>
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| <math>
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| F\in \left[\dfrac{2}{3}kd_0, 2kd_0\right].
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Dinámica del punto material|1]]
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| [[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]
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