No Boletín - Velocidad y tipo de movimiento a partir de la fuerza (Ex.Dic/12)

Enunciado

Una partícula de masa $m\,$, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, soporta la acción de una única fuerza:

${\vec {F}}=(A-Bt)\,{\vec {\jmath }}$

donde $A\,$ y $B\,$ son dos constantes conocidas.

1. Determine la velocidad instantánea de la partícula.
2. ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula?

Velocidad instantánea

Mediante la segunda ley de Newton, determinamos la aceleración instantánea ${\vec {a}}(t)\,$ de la partícula:

${\vec {a}}(t)={\frac {{\vec {F}}(t)}{m}}={\frac {1}{m}}\,(A-Bt)\,{\vec {\jmath }}$

Y mediante la integración de dicha aceleración, obtenemos la velocidad instantánea ${\vec {v}}(t)\,$ de la partícula:

${\vec {v}}(t)=\underbrace {{\vec {v}}(0)} _{={\vec {0}}}+\int _{0}^{t}{\vec {a}}(t)\,dt={\frac {1}{m}}\left(\int _{0}^{t}\,(A-Bt)\,dt\right)\,{\vec {\jmath }}={\frac {t}{m}}\,\left(A-{\frac {1}{2}}Bt\right)\,{\vec {\jmath }}$

Tipo de movimiento

La ecuación vectorial horaria de la partícula (vector de posición en función del tiempo) la obtenemos integrando la velocidad instantánea:

${\vec {r}}(t)=\underbrace {{\vec {r}}(0)} _{={\vec {0}}}+\int _{0}^{t}{\vec {v}}(t)\,dt={\frac {1}{m}}\left[\int _{0}^{t}\,\left(At-{\frac {1}{2}}Bt^{2}\right)\,dt\right]\,{\vec {\jmath }}={\frac {t^{2}}{2m}}\,\left(A-{\frac {1}{3}}Bt\right)\,{\vec {\jmath }}$

Es evidente que se trata de un movimiento rectilíneo (las ecuaciones implícitas de su trayectoria son $\{x=0\,;\,\,z=0\}$), si bien no es uniforme (la celeridad no es constante) ni uniformemente acelerado (la celeridad no crece linealmente con el tiempo).