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'''Nota''': Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro &ldquo;0&rdquo; de la figura, cuyo plano vertical <math>AX_0Z_0</math> contiene al aro en todo instante.
'''Nota''': Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro &ldquo;0&rdquo; de la figura, cuyo plano vertical <math>AX_0Z_0</math> contiene al aro en todo instante.


==Velocidad y aceleración angular==
==Velocidad angular del movimiento {21}==
===Velocidad angular===
De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares:
De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares


<center><math>\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}</math></center>
<center><math>\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}</math></center>
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Hallamos cada una por separado.
Hallamos cada una por separado.


;Velocidad angular de arrastre {01}: es la correspondiente a una rotación alrededor de un eje permanente de rotación, en este caso el OZ, por lo que
;Velocidad angular de arrastre {01}: Está asociada a la variación del ángulo <math>\varphi</math>. Corresponde a una rotación alrededor del eje <math>AZ_1\equiv AZ_0</math> (eje permanente de rotación), por lo que:


<center><math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\varphi}\vec{k}_1=\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>


;Velocidad angular relativa {20}: la da la variación del ángulo <math>\theta</math>. Aunque el segmento CG (con G el punto medio de la varilla) aparentemente no es parte del sólido &ldquo;2&rdquo;, es fácil ver que sí se mueve con él y forma parte integral de este sólido. La dirección y sentido de esta velocidad angular la da la regla de la mano derecha, viendo para qué lado gira la varilla cuando <math>\theta</math> aumenta  
;Velocidad angular relativa {20}: Está asociada a la variación del ángulo <math>\theta</math>. Aunque el segmento CG (siendo G el punto medio de la varilla) aparentemente no es parte del sólido &ldquo;2&rdquo;, es fácil ver que sí se mueve con él y forma parte integral de este sólido. La dirección y sentido de esta velocidad angular la da la regla de la mano derecha, viendo para qué lado gira la varilla cuando <math>\theta</math> aumenta:


<center><math>\vec{\omega}_{20}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>
<center><math>\vec{\omega}_{20}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>


;Velocidad angular absoluta {21}: la calculamos como suma de las dos anteriores
;Velocidad angular absoluta {21}: La calculamos como suma de las dos anteriores:


<center><math>\vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>


===Aceleración angular===
==Aceleración angular del movimiento {21}==
Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es
Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es:


<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}</math></center>
<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}</math></center>
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Las aceleraciones angulares relativa y de arrastre pueden hallarse a partir de sus definiciones, es decir, simplemente derivando respecto al tiempo las velocidades angulares correspondientes:  
Las aceleraciones angulares relativa y de arrastre pueden hallarse a partir de sus definiciones, es decir, simplemente derivando respecto al tiempo las velocidades angulares correspondientes:  


<center><math>\vec{\alpha}_{01}=\ddot{\varphi}\vec{k}_0\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{20}=-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>
<center><math>\vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}\,t}\right|_1=\ddot{\varphi}\vec{k}_1=\ddot{\varphi}\vec{k}_0\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}\,t}\right|_0=-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>


El término de acoplamiento entre las velocidades angulares vale
El término de acoplamiento entre las velocidades angulares vale:


<center><math>\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)=\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>
<center><math>\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)=\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>


Sumando los tres términos obtenemos la aceleración angular absoluta
Sumando los tres términos, obtenemos la aceleración angular absoluta:


<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>


===Eje instantáneo de rotación===
==Eje instantáneo de rotación del movimiento {21}==
El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso tenemos que el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B; el movimiento relativo es otra rotación alrededor de un eje paralelo al OY que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B, y el movimiento relativo {20} es otra rotación alrededor de un eje paralelo al <math>AY_0</math> que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por <math>\vec{\omega}_{21}</math>.


En forma vectorial y tomando el origen de coordenadas en el punto A
En forma vectorial y tomando el origen de coordenadas en el punto A, la ecuación del EIR{21} es:


<center><math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=R\vec{k}_0+\lambda(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0)</math></center>
<center><math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=R\vec{k}_0+\lambda(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0)</math></center>


==Velocidad y aceleración lineal==
==Velocidad instantánea del punto P en el movimiento {21} cuando P coincide con B==
===Velocidad de P===
La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre:
La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre


<center><math>\vec{v}^P_{21} = \vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}</math></center>
<center><math>\vec{v}^P_{21} = \vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}</math></center>


;Velocidad de arrastre {01}: Por encontrarse instantáneamente sobre el eje permanente de rotación {01}, la velocidad de arrastre es nula
;Velocidad de arrastre {01}: En el instante de interés (cuando P coincide con B), el punto P se halla sobre el eje permanente de rotación {01} y, por tanto, la velocidad de arrastre es nula:


<center><math>\vec{v}^P_{01}=\vec{0}</math></center>
<center><math>\vec{v}^P_{01}=\vec{v}^B_{01}=\vec{0}</math></center>


;Velocidad relativa {20}:La velocidad relativa es la debida a un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por C
;Velocidad relativa {20}:La velocidad relativa es la debida a un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por C:


<center><math>\vec{v}^P_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>
<center><math>\vec{v}^P_{20}=\underbrace{\vec{v}^C_{20}}_{\vec{0}}+\vec{\omega}_{20}\times\underbrace{\overrightarrow{CP}}_{=\overrightarrow{CB}}=(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>


;Velocidad absoluta {21}: Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa
;Velocidad absoluta {21}: Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa:


<center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>
<center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>


===Aceleración de P===
==Aceleración instantánea del punto P en el movimiento {21} cuando P coincide con B==
La aceleración absoluta sigue la ley de composición  
La aceleración absoluta sigue la ley de composición:


<center><math>\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}</math></center>
<center><math>\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}</math></center>


;Aceleración de arrastre {01}: Aunque la partícula se encuentre instantáneamente en reposo en el movimiento de arrastre, eso no implica que su aceleración sea nula. Para hallar la aceleración de arrastre empleamos la fórmula para el campo de aceleraciones de un sólido
;Aceleración de arrastre {01}: En el instante de interés (cuando P coincide con B), el punto P se halla sobre el eje permanente de rotación {01} y, por tanto, la aceleración de arrastre es nula:


<center><math>\vec{a}^P_{01}=\vec{a}^C_{01}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CP})</math></center>
<center><math>\vec{a}^P_{01}=\vec{a}^B_{01}=\vec{0}</math></center>


:siendo C un punto fijo del movimiento. Sin embargo, en el instante considerado en el enunciado, el vector de posición relativa va en la dirección del eje AZ, que es la misma de la velocidad y la aceleración angular de arrastre. Por tanto, los productos vectoriales son nulos y resulta que, efectivamente, su aceleración de arrastre es nula
;Aceleración relativa {20}: Empleamos la ecuación del campo de aceleraciones de un sólido rígido:


<center><math>\vec{a}^P_{01}=\vec{0}</math></center>
<center><math>\vec{a}^P_{20}=\underbrace{\vec{a}^C_{20}}_{\vec{0}}+\vec{\alpha}_{20}\times\underbrace{\overrightarrow{CP}}_{=\overrightarrow{CB}}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\underbrace{\overrightarrow{CP}}_{=\overrightarrow{CB}})</math></center>


;Aceleración relativa {20}: De nuevo empleamos la expresión para la aceleración de un punto de un sólido rígido
:resultando la aceleración:
 
<center><math>\vec{a}^P_{20}=\vec{a}^C_{20}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OC})</math></center>
 
:resultando la aceleración


<center><math>\vec{a}^P_{20}=\vec{0}+(-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times((-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0))=-R\ddot{\theta}\vec{\imath}_0-R\dot{\theta}^2\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{a}^P_{20}=\vec{0}+(-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times((-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0))=-R\ddot{\theta}\vec{\imath}_0-R\dot{\theta}^2\vec{k}_0</math></center>


;Término de Coriolis: Sustituyendo en la expresión de este producto
;Término de Coriolis: Sustituyendo en la expresión de este producto:


<center><math>2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0)=-2R\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>
<center><math>2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\dot{\varphi}\vec{k}_0)\times(-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0)=-2R\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\jmath}_0</math></center>
;Aceleración absoluta {21}: Sumando los tres términos
;Aceleración absoluta {21}: Sumando los tres términos:


<center><math>\vec{a}^P_{21}=-R\ddot{\theta}\vec{\imath}_0-2R\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\jmath}_0-R\dot{\theta}^2\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{a}^P_{21}=-R\ddot{\theta}\vec{\imath}_0-2R\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\jmath}_0-R\dot{\theta}^2\vec{k}_0</math></center>


[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]
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Revisión actual - 21:16 15 ene 2024

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un aro rígido (sólido “0”), de centro C y radio , que rota libremente alrededor de su diámetro vertical fijo AB contenido en el eje del triedro (sólido “1”); y por una varilla rígida PQ (sólido “2”), de centro G, cuyos extremos se hallan articulados a sendos deslizadores que los obligan a moverse sobre el aro. Describiendo la cinemática del sistema mediante las derivadas temporales de los ángulos y definidos en la figura, determine:

  1. , y eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
  2. y en el instante en que el extremo P de la varilla pasa por el punto más alto del aro (punto B).

Nota: Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” de la figura, cuyo plano vertical contiene al aro en todo instante.

Velocidad angular del movimiento {21}

De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares:

Hallamos cada una por separado.

Velocidad angular de arrastre {01}
Está asociada a la variación del ángulo . Corresponde a una rotación alrededor del eje (eje permanente de rotación), por lo que:
Velocidad angular relativa {20}
Está asociada a la variación del ángulo . Aunque el segmento CG (siendo G el punto medio de la varilla) aparentemente no es parte del sólido “2”, es fácil ver que sí se mueve con él y forma parte integral de este sólido. La dirección y sentido de esta velocidad angular la da la regla de la mano derecha, viendo para qué lado gira la varilla cuando aumenta:
Velocidad angular absoluta {21}
La calculamos como suma de las dos anteriores:

Aceleración angular del movimiento {21}

Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es:

Las aceleraciones angulares relativa y de arrastre pueden hallarse a partir de sus definiciones, es decir, simplemente derivando respecto al tiempo las velocidades angulares correspondientes:

        

El término de acoplamiento entre las velocidades angulares vale:

Sumando los tres términos, obtenemos la aceleración angular absoluta:

Eje instantáneo de rotación del movimiento {21}

El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B, y el movimiento relativo {20} es otra rotación alrededor de un eje paralelo al que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por .

En forma vectorial y tomando el origen de coordenadas en el punto A, la ecuación del EIR{21} es:

Velocidad instantánea del punto P en el movimiento {21} cuando P coincide con B

La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre:

Velocidad de arrastre {01}
En el instante de interés (cuando P coincide con B), el punto P se halla sobre el eje permanente de rotación {01} y, por tanto, la velocidad de arrastre es nula:
Velocidad relativa {20}
La velocidad relativa es la debida a un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por C:
Velocidad absoluta {21}
Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa:

Aceleración instantánea del punto P en el movimiento {21} cuando P coincide con B

La aceleración absoluta sigue la ley de composición:

Aceleración de arrastre {01}
En el instante de interés (cuando P coincide con B), el punto P se halla sobre el eje permanente de rotación {01} y, por tanto, la aceleración de arrastre es nula:
Aceleración relativa {20}
Empleamos la ecuación del campo de aceleraciones de un sólido rígido:
resultando la aceleración:
Término de Coriolis
Sustituyendo en la expresión de este producto:
Aceleración absoluta {21}
Sumando los tres términos: