No Boletín - Rectilíneo con aceleración creciente (Ex.Oct/13)

Enunciado

Una partícula, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:

${\vec {a}}(t)=3Ct^{2}\,{\vec {\jmath }}$

siendo $C\,$ una constante de valor igual a $1\,\mathrm {m/s} ^{4}\,$. ¿A qué distancia del origen de coordenadas se hallará la partícula en el instante $t=2\,\mathrm {s} \,$?

Solución

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=3Ct^{2}\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\,(\mathrm {para} \,\,t>0)$

Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:

${\vec {r}}(0)={\vec {0}}\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)={\vec {0}}\,\mathrm {m/s}$

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para $t>0\,$ se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

${\begin{array}{lllllll}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=3Ct^{2}\,{\vec {\jmath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\mathrm {d} {\vec {v}}=3\,Ct^{2}\,\mathrm {d} t\,{\vec {\jmath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {v}}(0)}^{{\vec {v}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}=3\,C\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t^{2}\,\mathrm {d} t\right){\vec {\jmath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}(t)=Ct^{3}\,{\vec {\jmath }}\\\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=Ct^{3}\,{\vec {\jmath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\mathrm {d} {\vec {r}}=Ct^{3}\,\mathrm {d} t\,{\vec {\jmath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {r}}(0)}^{{\vec {r}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {r}}=C\left(\displaystyle \int _{0}^{t}\!t^{3}\,\mathrm {d} t\right){\vec {\jmath }}&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {r}}(t)=\displaystyle {\frac {Ct^{4}}{4}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

En el instante $t=2\,\mathrm {s} \,$, la posición de la partícula es por tanto:

${\vec {r}}=\displaystyle {\frac {(1\,\,\mathrm {m/s} ^{4})(16\,\,\mathrm {s} ^{4})}{4}}\,{\vec {\jmath }}=4\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\mathrm {m}$

y su distancia al origen de coordenadas en dicho instante es:

$|{\vec {r}}\,|=|4\,{\vec {\jmath }}\,|\,\,\mathrm {m} =4\,\,\mathrm {m}$