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No Boletín - Persecución en el eje OX (Ex.Oct/19)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
(Solución)
Línea 22: Línea 22:
<center><math>
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\begin{array}{ll}
\begin{array}{ll}
-
\mathrm{(m.r.u.)}\,: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,  x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0) \\ \\
+
\mathrm{m.r.u.}\,: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,  x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0) \\ \\
-
\mathrm{(m.r.u.a.)}\,: &  \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}(t_0)+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x(t_0)+\dot{x}(t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}a\,(t-t_0)^2
+
\mathrm{m.r.u.a.}\,: &  \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}(t_0)+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x(t_0)+\dot{x}(t_0)\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2
\end{array}
\end{array}
</math></center>
</math></center>

Revisión de 12:18 10 feb 2020

1 Enunciado

Un coche circula por una carretera rectilínea (eje OX) con una velocidad constante de 30\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\, , y en cierto instante pasa por el lado de un motorista que se encuentra parado en el arcén. Transcurrido un tiempo de 2\,\,\mathrm{s}\, desde que pasó por su lado, el motorista inicia la persecución del coche, que realiza del siguiente modo: partiendo del reposo, mantiene una aceleración constante de 6\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}^2\, hasta el instante en el que alcanza una velocidad de 48\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\, , instante a partir del cual mantiene constante dicha velocidad.

  1. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche?
  2. ¿Qué longitud total habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche?

2 Solución

Llamaremos C al coche y M al motorista. Dado que los movimientos de C y M son ambos rectilíneos y sobre el eje OX, abordaremos la solución de las cuestiones planteadas prescindiendo del carácter vectorial de las magnitudes cinemáticas. Por tanto, la coordenada x\, de cada móvil caracterizará su posición, y sus derivadas temporales primera \dot{x}\, y segunda \ddot{x}\, caracterizarán su velocidad y su aceleración, respectivamente. Tomaremos como origen del eje OX (punto x=0\,) la posición en la que M se encuentra inicialmente parado.

En lo que se refiere a la escala del tiempo, eligiendo como origen el instante en el que M inicia la persecución de C, tendremos el siguiente etiquetado de los instantes relevantes del problema:


\begin{array}{lll}
t=-2\,\,\mathrm{s} & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{C}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por}\,\,\mathrm{el}\,\,\mathrm{lado}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{M}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posición}\,\, x=0 \\ \\
t=0\,\,\mathrm{s} & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{M}\,\,\mathrm{inicia}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{persecución}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{C}\ \\ \\
t=t_1 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{M}\,\,\mathrm{cambia}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{un}\,\,\,\mathrm{m.r.u.a.}\,\,\,\mathrm{a}\,\,\mathrm{un}\,\,\,\mathrm{m.r.u.} \\ \\
t=t_2 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{M}\,\,\mathrm{alcanza}\,\,\mathrm{a}\,\,\mathrm{C}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posición}\,\, x=x_2
\end{array}

Por otra parte, tratándose de movimientos tan elementales y conocidos como el movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), utilizaremos para el análisis cinemático las fórmulas específicas de dichos movimientos sin deducirlas:


\begin{array}{ll}
\mathrm{m.r.u.}\,: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,  x(t)=x(t_0)+v\,(t-t_0) \\ \\
\mathrm{m.r.u.a.}\,: &  \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}(t_0)+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x(t_0)+\dot{x}(t_0)\,t+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2
\end{array}

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