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No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular)
(Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular)
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El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte elástico) y una de reacción vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada). Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>. Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
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El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte elástico) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).  
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Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular al propio vínculo, es decir, perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula. Dicho de otro modo, al no existir rozamiento, la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección radial:
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\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{(ranura)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}= 0
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Por tanto, la condición que la fuerza vincular <math>\,\vec{\Phi}\,</math> debe satisfacer en todo instante es <math>\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}= 0\,</math>. La opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.
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Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
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\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\,\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\,\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
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En cuanto a la primera pregunta del ejercicio, habiendo ya determinado las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar que la respuesta (3) es la correcta, y que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas. De todos modos, el simple hecho de que el vínculo sea liso (sin rozamiento) y que, por tanto, la fuerza vincular tenga que ser perpendicular a la dirección radial de la varilla ranurada, permite deducir que la condición que la fuerza vincular <math>\,\vec{\Phi}\,</math> debe satisfacer en todo instante es:
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Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas.
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\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0
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[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]
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Revisión de 12:34 13 feb 2020

1 Enunciado

La varilla OA\, , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal OXY\,, rota alrededor del eje fijo OZ\, de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje OX\, viene dado en función del tiempo por la expresión \,\theta=\Omega\, t\, (donde \,\Omega\, es una constante conocida). Una partícula P\, de masa m\, se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante k\, y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo B(b,0,0)\,. En la figura se definen las coordenadas polares \{\rho,\theta\}\, de la partícula P\, , así como la base ortonormal \{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\, asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos \vec{v}\, y \vec{a}\, , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula P\, respecto al triedro fijo OXYZ\,.

Nota: Obsérvese que la varilla OA\, constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula P\,.

  1. ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular \vec{\Phi}\, que ejerce la varilla OA\, sobre la partícula P\, ?
    \mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}
  2. Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial \vec{u}_{\rho}\, , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función \rho(t)\, que da la coordenada radial de la partícula P\, en cada instante.
  3. ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula?
    \mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2

2 Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza de reacción vincular

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula \,P\, actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica \,\vec{F}_k\, ejercida por el resorte elástico) y otra de tipo vincular (la fuerza \,\vec{\Phi}\, ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la fuerza vincular \vec{\Phi}\, es perpendicular al propio vínculo, es decir, perpendicular a la dirección radial \vec{u}_{\rho}\, de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula. Dicho de otro modo, al no existir rozamiento, la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección radial:


\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{(ranura)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}= 0

Por tanto, la condición que la fuerza vincular \,\vec{\Phi}\, debe satisfacer en todo instante es \vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}= 0\,. La opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:


\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\,\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.

La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:


\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta} \end{array}

pero al particularizar teniendo en cuenta la ecuación del vínculo:      \,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,,     queda:    


\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta} \end{array}

Planteamos la segunda ley de Newton:     \vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}     y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:


\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ 
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.

La ecuación (1) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función \,\rho(t):


\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)

que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza de reacción vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando \Phi\, en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de \,\vec{\Phi}\,:


\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que una vez determinadas las expresiones de \,\vec{\Phi}\,, \,\vec{v}\, y \,\vec{a}\, en la base polar, resulta trivial comprobar que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas.

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