No Boletín - Partícula cae por rampa e impacta en muelle (Ex.Sep/12)

Enunciado

Una partícula de masa $m\,$ desliza sin rozamiento a lo largo de una rampa bajo el efecto de su propio peso. En el instante inicial, la partícula se halla en reposo en el punto más alto de la rampa, a una altura $h\,$. Al final de la rampa y apoyado sobre ella, hay un resorte elástico OA de constante recuperadora $k\,$ y longitud natural $l_{0}\,$. Su extremo O está fijo (punto de anclaje), y su extremo libre A descansa sobre la rampa, a una altura $h/6\,$ cuando el resorte está relajado.

1. ¿Con qué celeridad $v\,$ entrará en contacto la partícula con el extremo A del resorte?
2. ¿Cuánto vale la constante $k\,$ del resorte si la partícula llega hasta el final de la rampa (punto O) con celeridad nula?

Celeridad al entrar en contacto con el resorte

Distinguiremos dos etapas en el movimiento de la partícula: antes de entrar en contacto con el muelle, y después de entrar en contacto con el muelle. Al no haber rozamiento, sabemos que en la primera etapa sólo actúan dos fuerzas sobre la partícula: su peso (fuerza conservativa) y la reacción normal de la rampa. La reacción normal no realiza trabajo sobre la partícula porque es perpendicular a su trayectoria. Por tanto, conforme al teorema de conservación de la energía mecánica (la única fuerza que trabaja es conservativa), la energía mecánica (= energía cinética + energía potencial gravitatoria) ha de conservarse constante en el tiempo:

$mgh={\frac {1}{2}}mv^{2}+mg{\frac {h}{6}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,v={\sqrt {\displaystyle {\frac {5gh}{3}}}}$

donde hemos llamado $v\,$ a la celeridad de la partícula en el instante en que entra en contacto con el muelle, y hemos exigido la igualdad de energías mecánicas entre el instante inicial y el instante de entrada en contacto partícula-muelle.

Valor de la constante elástica del resorte

En la segunda etapa del movimiento de la partícula, aparece una nueva fuerza que trabaja pero también es conservativa: la fuerza elástica ejercida por el muelle. Por tanto, la energía mecánica (= energía cinética + energía potencial gravitatoria + energía potencial elástica) seguirá conservándose constante en el tiempo:

$mgh={\frac {1}{2}}kl_{0}^{2}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,k={\frac {2mgh}{l_{0}^{2}}}$

donde hemos exigido la igualdad de energías mecánicas entre el instante inicial y el instante de llegada de la partícula al final de la rampa (sin energía cinética, sin energía potencial gravitatoria, y sólo con la energía potencial elástica debida a la contracción del muelle).