Diferencia entre revisiones de «No Boletín - Otro tiro parabólico III (Ex.Oct/18)»
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A continuación, igualamos la fórmulas de las aceleraciones tangencial y normal del proyectil para determinar el instante <math>t=t^{*}\,</math> en el que ambas componentes intrínsecas tienen valores iguales: | A continuación, igualamos la fórmulas de las aceleraciones tangencial y normal del proyectil para determinar el instante <math>t=t^{*}\,</math> en el que ambas componentes intrínsecas tienen valores iguales: | ||
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a_t(t^{*})=a_n(t^{*})\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{\vec{v}(t^{*})\cdot\vec{a}(t^{*})}{|\vec{v}(t^{*})|}= | a_t(t^{*})=a_n(t^{*})\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{\vec{v}(t^{*})\cdot\vec{a}(t^{*})}{|\vec{v}(t^{*})|}= | ||
\frac{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|}{|\vec{v}(t^{*})|}\,\,\,\rightarrow\,\,\, | \frac{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|}{|\vec{v}(t^{*})|}\,\,\,\rightarrow\,\,\, | ||
g\left[g\;\!t^{*}-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right]=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0) \,\,\,\rightarrow\,\,\, t^{*}=\displaystyle\frac{v_0}{g}\,[\;\!\mathrm{sen}(\theta_0)\,+\,\mathrm{cos}(\theta_0)\;\!] | g\left[g\;\!t^{*}-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right]=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0) \,\,\,\rightarrow</math> | ||
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\rightarrow\,\,\, t^{*}=\displaystyle\frac{v_0}{g}\,[\;\!\mathrm{sen}(\theta_0)\,+\,\mathrm{cos}(\theta_0)\;\!] | |||
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==Radio de curvatura de la trayectoria en el instante propuesto== | ==Radio de curvatura de la trayectoria en el instante propuesto== |
Revisión actual - 13:14 10 ene 2024
Enunciado
Un proyectil se mueve en el plano vertical . Se sabe que tiene una aceleración constante (de módulo ) debida a la gravedad, y que su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial y con un ángulo sobre el eje horizontal (siendo ):
- ¿En qué instante tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal del proyectil ?
- ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante definido en la pregunta anterior?
Instante en el que tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal
La definición de aceleración instantánea establece que:
En el caso que nos ocupa, conocemos el valor inicial de la velocidad del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:
Determinar la velocidad del proyectil para se reduce a integrar la aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:
Sustituyendo los valores dados de y , obtenemos:
Efectuamos el producto escalar y el producto vectorial de y porque sabemos que dichos productos están presentes en las fórmulas de las componentes intrínsecas de la aceleración:
A continuación, igualamos la fórmulas de las aceleraciones tangencial y normal del proyectil para determinar el instante en el que ambas componentes intrínsecas tienen valores iguales:
Radio de curvatura de la trayectoria en el instante propuesto
Evaluamos la velocidad y la celeridad del proyectil en el instante :
El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:
Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores previamente determinados, se obtiene: