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==Enunciado==

[[Archivo:hilo-tenso.png|right]]

La barra rígida <math>AB\,</math>, de longitud <math>L\,</math>, se halla contenida en el plano vertical <math>OXY\,</math> y rota alrededor de su extremo fijo <math>A\,</math>, cuya posición viene dada por <math>\,\overrightarrow{OA}=L\,\vec{\imath}</math>. Un hilo inextensible, de longitud <math>2L\,</math>, tiene uno de sus extremos conectado a un deslizador puntual <math>Q\,</math> que puede desplazarse sobre el eje vertical <math>OY\,</math>, mientras que del otro extremo cuelga una partícula <math>P\,</math> que mantiene al hilo tenso.

El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo <math>B</math> de la barra, y el movimiento del mecanismo es tal que el tramo <math>QB\,</math> permanece siempre paralelo al eje <math>OX\,</math>, y el tramo <math>BP\,</math> permanece siempre paralelo al eje <math>OY\,</math> (ver figura).

# Determine el vector de posición de la partícula en función del ángulo que forma la barra <math>AB\,</math> con el eje <math>OX\,</math>, es decir, <math>\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)</math>.
# Para la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega\, t</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante positiva conocida, y <math>\,0\leq\theta(t)\leq\pi/2</math>), halle los vectores velocidad y aceleración de la partícula <math>P</math> en función del tiempo.
# Sólo para el instante en que <math>\,\theta=\pi/4\,</math>, determine las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la partícula <math>P</math>.

==Vector de posición==
El vector de posición <math>\overrightarrow{OP}\,</math> se puede descomponer en la suma vectorial:

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=L\,\vec{\imath}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{AB}=L\cos(\theta)\vec{\imath}+L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{BP}=-|\overrightarrow{BP}|\,\vec{\jmath}</math></center>

El módulo de <math>\overrightarrow{BP}</math> se calcula a partir de la longitud del hilo <math>2L=|\overrightarrow{QB}|+|\overrightarrow{BP}|</math>, resultando:

<center><math>|\overrightarrow{BP}| = 2L-|\overrightarrow{QB}|=2L-[L+L\cos(\theta)]=L-L\cos(\theta)</math></center>

Sustituyendo:

<center><math>\overrightarrow{OP} = L\left[1+\cos(\theta)\right]\vec{\imath}+L\left[\mathrm{sen}(\theta)+\cos(\theta)-1\right]\vec{\jmath}</math></center>

==Vectores velocidad y aceleración para la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math>==
Se sustituye la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t\,</math> en la expresión del vector de posición obtenida en el apartado anterior:

<center><math>\overrightarrow{OP} = L\left[1+\cos(\Omega t)\right]\vec{\imath}+L\left[\mathrm{sen}(\Omega t)+\cos(\Omega t)-1\right]\vec{\jmath}</math></center>

Derivando el vector de posición respecto al tiempo y teniendo en cuenta que <math>\Omega</math> es una constante conocida, se obtiene el vector <math>\vec{v}\,</math> en función del tiempo:

<center><math>\vec{v}(t) = -\Omega L\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{\imath}+\Omega L\left[\cos(\Omega t)-\mathrm{sen}(\Omega t)\right]\vec{\jmath}</math></center>

Y derivando el vector velocidad respecto al tiempo, se obtiene el vector <math>\vec{a}\,</math> en función del tiempo:

<center><math>\vec{a}(t) = -\Omega^2 L\cos(\Omega t)\,\vec{\imath}-\Omega^2 L\left[\mathrm{sen}(\Omega t)+\cos(\Omega t)\right]\vec{\jmath}</math></center>

==Componentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura cuando <math>\theta=\pi/4</math>==
Evaluemos en primer lugar los vectores velocidad y aceleración para el instante en que <math>\theta=\Omega t=\displaystyle\frac{\pi}{4}\,</math>, es decir, para <math>t=\displaystyle\frac{\pi}{4\Omega}</math>

<center><math>t=\displaystyle\frac{\pi}{4\Omega}\,\,\longrightarrow\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}=-\Omega L\,\mathrm{sen}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\,\vec{\imath}+\Omega L\left[\mathrm{cos}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)-\mathrm{sen}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\right]\vec{\jmath}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}\,\Omega L}{2}\,\vec{\imath} \\ \\ \vec{a}=-\Omega^2 L\,\mathrm{cos}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\,\vec{\imath}-\Omega^2 L\left[\mathrm{sen}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{cos}\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\right]\vec{\jmath}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}\,\Omega^2 L}{2}\,\vec{\imath}-\sqrt{2}\,\Omega^2 L\,\vec{\jmath} \end{array}\right.</math></center>

Las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en el citado instante de tiempo se pueden obtener a partir de las siguientes expresiones:

<center><math>a_T=\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{v}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,a_N=\displaystyle\frac{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}{v}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,R_{\kappa}=\displaystyle\frac{v^2}{a_N}</math></center>

Operando:

<center><math>v=|\vec{v}|=\frac{\sqrt{2}}{2}\Omega L\,;\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}\,\Omega^3L^2\,;\,\,\,\,\,\,\,|\vec{v}\times\vec{a}\,|=|\Omega^3L^2\,\vec{k}|=\Omega^3L^2</math></center>

Y sustituyendo en las expresiones anteriores, se obtiene:

<center><math>a_T=\frac{\Omega^2 L}{\sqrt{2}}\,;\,\,\,\,\,\,\,a_N=\sqrt{2}\,\Omega^2 L\,;\,\,\,\,\,\,\,R_{\kappa}=\frac{L}{2\sqrt{2}}</math></center>

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